Представление сопряжённого к $C(X)$: теорема Рисса-Какутани

Пусть $x_{0}$ — точка в компактном хаусдорфовом пространстве $X$. Определите $L(f) = f\left(x_{0}\right)$ для каждой $f \in C(X)$. Покажите, что $L$ — ограниченный линейный функционал на $C(X)$. Найдите знакопеременную меру Радона, представляющую $L$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $\mu$ — борелевская мера на $\mathcal{B}(X)$. Покажите, что существует мера Радона $\mu_{0}$, для которой

Пусть $g_{1}$ и $g_{2}$ — две возрастающие функции на замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$, совпадающие на концах. Покажите, что

тогда и только тогда, когда $g_{1}\left(x^{+}\right) = g_{2}\left(x^{+}\right)$ для всех $a \leq x < b$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что теорема Жордана о разложении для знакопеременных борелевских мер на $\mathcal{B}(X)$ следует из теоремы представления Рисса-Какутани для сопряженного к $C(X)$ и Предложения 12.

Теорема представления Рисса-Какутани: Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $C(X)$ — линейное пространство непрерывных вещественнозначных функций на $X$, нормированное максимум-нормой. Определите оператор $T: \operatorname {Radon}(X) \rightarrow [C(X)]^{*}$, полагая для $\nu \in \operatorname {Radon}(X)$: $T\nu (f) = \int_{X} f \, d\nu$ для всех $f \in C(X)$. Тогда $T$ — линейный изометрический изоморфизм $\operatorname {Radon}(X)$ на $[C(X)]^{*}$.

Предложение 12: Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $C(X)$ — линейное пространство непрерывных вещественнозначных функций на $X$, нормированное максимум-нормой. Тогда для каждого непрерывного линейного функционала $L$ на $C(X)$ существуют два положительных линейных функционала $L^{+}$ и $L^{-}$ на $C(X)$, для которых $L = L^{+} - L^{-}$ и $\left\| L\right\| = L^{+}(1) + L^{-}(1)$.

Каковы крайние точки единичного шара линейного пространства знакопеременных мер Радона $\mathcal{R}$ adon $(X)$, где $X$ — компактное хаусдорфово пространство?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство. На линейном пространстве функций $\mathcal{F}$, определенном в формулировке Теоремы 16, определите норму функции как ее полную вариацию. Покажите, что с этой нормой $\mathcal{F}$ является банаховым пространством.

Теорема 16 (Рисс): Пусть $\left[a, b\right]$ — замкнутый ограниченный интервал, а $\mathcal{F}$ — совокупность вещественнозначных функций на $\left[a, b\right]$, имеющих ограниченную вариацию на $\left[a, b\right]$, непрерывных справа на $(a, b)$ и обращающихся в нуль в точке $a$. Тогда для каждого ограниченного линейного функционала $\psi$ на $C\left[a,b\right]$ существует единственная функция $g \in \mathcal{F}$, для которой $\psi (f) = \int_{a}^{b} f(x) \, dg(x)$ для всех $f \in C\left[a,b\right]$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра вещественнозначных непрерывных функций на компактном пространстве $X$, разделяющая точки и содержащая константы. Пусть $\mathcal{A}^{\perp }$ — множество знакопеременных мер Радона на $X$ таких, что $\left|\mu \right|(X) \leq 1$ и $\int_{X} f d \mu = 0$ для всех $f \in \mathcal{A}$.