Построение мер Радона

Пусть ($X, \mathcal{T}$) — хаусдорфово топологическое пространство. Покажите, что $\mathcal{T}$ является полукольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{T}$ — дискретная топология.

Пусть $(X, \mathcal{T})$ — топологическое пространство, а $\mu : \mathcal{T} \rightarrow [0, \infty ]$ — премера. Предположим, что если $\mathcal{O}$ открыто и $\mu (\mathcal{O}) < \infty$, то $\mu (\operatorname {bd} \mathcal{O}) = 0$. Покажите, что каждое открытое множество $\mu^{*}$-измеримо.

Покажите, что сужение меры Лебега на прямой на борелевскую $\sigma$-алгебру является мерой Радона.

Покажите, что сужение меры Лебега на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ на борелевскую $\sigma$-алгебру является мерой Радона.

Покажите, что дельта-мера Дирака на топологическом пространстве является мерой Радона.

Пусть $X$ — несчетное множество с дискретной топологией, а $\left\{ x_{k}\right\}_{1 \leq k < \infty }$ — счетное подмножество $X$. Для $E \subseteq X$ определите

Покажите, что $2^{X} = \mathcal{B}(X)$ и $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow$ является мерой Радона.

Покажите, что сумма двух мер Радона также является мерой Радона.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — борелевские меры на $\mathcal{B}(X)$, где $X$ — компактное топологическое пространство, и предположим, что $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$. Если $\nu$ радонова, покажите, что $\mu$ также радонова.

Пусть $(X, \mathcal{T})$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $\mu : \mathcal{T} \rightarrow [0, \infty ]$ — премера, для которой сужение $\mu^{*}$ на $\mathcal{B}(X)$ является мерой Радона. Покажите, что $\mu$ — премера Радона.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ — мера Радона. Покажите, что любое борелевское множество $E$ конечной меры внутренне регулярно в том смысле, что

Заключите, что если $\mu$ $\sigma$-конечна, то каждое борелевское множество внутренне регулярно.

Пусть $X$ — топологическое пространство, $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ — $\sigma$-конечная мера Радона, а $E \subseteq X$ — борелевское множество. Покажите, что существуют подмножество $A$ типа $G_{\delta }$ пространства $X$ и подмножество $B$ типа $F_{\sigma }$ пространства $X$, для которых

Для метрического пространства $X$ покажите, что $\mathcal{B}(X)$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой все непрерывные вещественнозначные функции на $X$ измеримы.