Двойственность нормированных линейных пространств

Проверьте два утверждения о прямой подстановке в доказательстве предложения 4.

Предложение 4: пусть $X$ — линейное пространство, функционал $\psi$ принадлежит $X^{\sharp }$, и $\left\{ \psi_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ содержится в $X^{\sharp }$. Тогда $\psi$ является линейной комбинацией $\left\{ \psi_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ тогда и только тогда, когда $\bigcap_{i=1}^{n} \ker \psi_{i} \subseteq \ker \psi$. Доказательство ведётся индукцией по $n$. В базовом случае $n=1$, выбрав $x_{0} \neq 0$ с $\psi (x_{0}) = 1$ (так что $\psi_{1}(x_{0}) \neq 0$) и определив $\lambda_{1} = 1/\psi_{1}(x_{0})$, прямой подстановкой показывается, что $\psi = \lambda_{1}\psi_{1}$. На индуктивном шаге, имея вещественные числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k-1}$, для которых $\psi = \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_{i} \psi_{i}$ на $Y = \ker \psi_{k}$, и $x_{0}$ с $\psi_{k}(x_{0}) = 1$, определяют $\lambda_{k} = \psi (x_{0}) - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_{i} \psi_{i}(x_{0})$; прямой подстановкой показывается, что $\psi = \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \psi_{i}$ на $X$.

Пусть $X_{0}$ — подпространство коразмерности 1 нормированного линейного пространства $X$. Покажите, что $X_{0}$ замкнуто относительно сильной топологии тогда и только тогда, когда $X_{0} = \operatorname {ker} \psi$ для некоторого $\psi \in X^{*}$.

Покажите, что если $X$ — конечномерное нормированное линейное пространство, то всякий линейный функционал на $X$ непрерывен.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное линейное пространство размерности $n$. Пусть $\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\}$ — базис $X$. Для $1 \leq i \leq n$ определим $\psi_{i} \in X^{*}$ формулой $\psi_{i}(x) = x_{i}$ для $x = x_{i} e_{i}+\cdots +x_{n} e_{n} \in X$. Покажите, что $\left\{ \psi_{1}, \ldots , \psi_{n}\right\}$ является базисом $X^{*}$. Таким образом, $\operatorname {dim} X^{*} = n$.

Пусть $X$ — конечномерное линейное пространство. Покажите, что слабая и сильная топологии на $X$ совпадают.

Покажите, что всякое непустое слабо открытое подмножество бесконечномерного нормированного линейного пространства неограничено относительно нормы.

Пусть $X$ — конечномерное пространство. Покажите, что естественное вложение $J: X \rightarrow X^{* *}$ взаимно однозначно. Затем, используя задачу 5, покажите, что $J: X \rightarrow X^{* *}$ сюръективно, так что $X$ рефлексивно.

Для вектора $v \neq 0$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ явно предъявите линейный функционал $\psi : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi (v) = 1$.

Для последовательности $\left\{ x_{n}\right\} \neq 0$ в $\ell^{2}$ явно предъявите непрерывный линейный функционал $\psi : \ell^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi \left(\left\{ x_{n}\right\} \right) = 1$.

Для функции $f \neq 0$ в $L^{p}[a, b], 1 \leq p \leq \infty$, явно предъявите непрерывный линейный функционал $\psi : L^{p}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi (f) = 1$.

Рассмотрим $C[a, b]$ с максимум-нормой. Для функции $f \neq 0$ в $C[a, b]$ явно предъявите непрерывный линейный функционал $\psi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi (f) = 1$.

Для $1 < p < \infty$ пусть $Y$ — замкнутое подпространство $L^{p}[a, b]$ коразмерности 1. Покажите, что существует функция $g \in L^{q}[a, b]$, где $q$ сопряжено с $p$, для которой

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $\psi$ принадлежит $X^{\sharp } \sim X^{*}$. Покажите, что ker $\psi$ плотно в $X$ относительно сильной топологии.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство многочленов, ограниченных на $[a, b]$. Для $p \in X$ определим $\psi (p)$ как сумму коэффициентов $p$. Покажите, что $\psi$ линеен. Непрерывен ли $\psi$, если $X$ снабжено топологией, индуцированной максимум-нормой?

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство последовательностей вещественных чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых членов. Для $x = \left\{ x_{n}\right\} \in X$ определим $\psi (x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$. Покажите, что $\psi$ линеен. Непрерывен ли $\psi$, если $X$ снабжено топологией, индуцированной нормой $\ell^{\infty }$?

Пусть $X$ — линейное пространство. Подмножество $E$ пространства $X$ называется линейно независимым при условии, что каждый $x \in E$ не является конечной линейной комбинацией точек $E \sim \left\{ x\right\}$. Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непустых линейно независимых подмножеств $X$. Упорядочим $\mathcal{F}$ по включению множеств. Примените лемму Цорна, чтобы заключить, что $X$ обладает базисом Гамеля.

Приведите пример разрывного линейного оператора $T$ из нормированного линейного пространства $X$ в нормированное линейное пространство $Y$, для которого $T$ имеет замкнутый график. Противоречит ли это теореме о замкнутом графике?

Пусть $X$ — линейное подпространство $C[0,1]$, замкнутое как подмножество $L^{2}[0,1]$. Проверьте следующие утверждения, чтобы показать, что $X$ конечномерно. Последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ принадлежит $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, $\psi$ принадлежит $X^{*}$, и $\left\{ \psi_{n}\right\}$ принадлежит $X^{*}$. Покажите, что если $\left\{ \psi_{n}\right\}$ сходится слабо-* к $\psi$, то

Пусть $X = \mathbb {R}^{n}$ снабжено евклидовой нормой, $Y$ — подпространство $X$, а $\psi : Y \rightarrow \mathbb {R}$ — линейный функционал. Пусть $Y^{\perp }$ — линейное подпространство $\mathbb {R}^{n}$, состоящее из векторов, ортогональных $Y$. Тогда $\mathbb {R}^{n} = Y \oplus Y^{\perp }$. Для $x = y+y^{\prime }, y \in Y, y^{\prime } \in Y^{\perp }$, определим $\psi (x) = \psi (y)$. Покажите, что это корректно определяет $\psi \in \left(\mathbb {R}^{n}\right)^{*}$, является продолжением $\psi$ с $Y$ и имеет ту же норму, что и $\left.\psi \right|_{Y}$.

Пусть $X = L^{p} = L^{p}[a, b], 1 < p < \infty$, и $m$ — мера Лебега. Для $f \neq 0$ в $L^{p}$ определим

Используя неравенство Гёльдера, покажите, что $\psi \in \left(L^{p}\right)^{*},\left\| \psi \right\|_{*} = 1$ и $\psi (f) = \left\| f\right\|_{p}$.

Для каждой точки $x$ нормированного линейного пространства $X$ покажите, что

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $Y$ — замкнутое подпространство $X$. Покажите, что для каждого $x_{0} \in X \sim Y$ существует $\psi \in X^{*}$ такой, что

Пусть $Y$ — линейное подпространство нормированного линейного пространства $X$, а $z$ — вектор в $X$. Покажите, что

Пусть $X$ — векторное пространство. Подмножество $C$ пространства $X$ называется конусом при условии, что $x+y \in C$ и $\lambda x \in C$, когда $x, y$ принадлежат $C$ и $\lambda > 0$. Определим частичный порядок на $X$, полагая $x \prec y$, если $y-x \in C$. Линейный функционал $f$ на $X$ называется положительным (относительно конуса $C$) при условии, что $f \geq 0$ на $C$. Пусть $Y$ — произвольное подпространство $X$, обладающее тем свойством, что для каждого $x \in X$ найдётся $y \in Y$ с $x \prec y$. Предположим, что $f$ — линейный функционал на $Y$, положительный относительно конуса $C \cap Y$. Покажите, что $f$ может быть продолжен до линейного функционала на $X$, положительного относительно $C$.

Пусть $X_{0}$ — подмножество метрического пространства $X$. Используя теорему Титце о продолжении, покажите, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на $X_{0}$ имеет непрерывное продолжение на всё $X$ тогда и только тогда, когда $X_{0}$ замкнуто. Противоречит ли это теореме 7? Теорема 7: пусть $X_{0}$ — линейное подпространство нормированного линейного пространства $X$. Тогда всякий ограниченный линейный функционал $\psi$ на $X_{0}$ имеет продолжение до ограниченного линейного функционала на всём $X$, обладающего той же нормой, что и $\psi$. В частности, для каждого $x \in X$, $x \neq 0$, существует $\psi \in X^{*}$, для которого $\psi (x) = \left\| x\right\|$ и $\left\| \psi \right\|_{*} = 1$.

Пусть $F$ — замкнутое подмножество метрического пространства ($X, \rho$). Покажите, что точка $x \in X$ принадлежит $F$ тогда и только тогда, когда всякая непрерывная вещественнозначная функция на $X$, обращающаяся в нуль на $F$, также обращается в нуль в $x$. Можно ли использовать это для доказательства теоремы 10? Теорема 10: пусть $X_{0}$ — подпространство нормированного линейного пространства $X$. Тогда точка $x$ пространства $X$ принадлежит замыканию $X_{0}$ тогда и только тогда, когда всякий раз, когда непрерывный функционал $\psi \in X^{*}$ обращается в нуль на $X_{0}$, он также обращается в нуль в $x$.

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал вещественных чисел, и рассмотрим $L^{\infty }[a, b]$, формально понимаемое как совокупность классов эквивалентности по отношению поточечного равенства почти всюду среди существенно ограниченных функций. Пусть $X$ — подпространство $L^{\infty }[a, b]$, состоящее из тех классов эквивалентности, которые содержат непрерывную функцию. Покажите, что такой класс эквивалентности содержит ровно одну непрерывную функцию. Таким образом, $X$ линейно изоморфно $C[a, b]$, и потому, с точностью до этого отождествления, мы можем рассматривать $C[a, b]$ как линейное подпространство $L^{\infty }[a, b]$. Покажите, что $C[a, b]$ является замкнутым подпространством банахова пространства $L^{\infty }[a, b]$.

Определим $\psi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\psi (f) = f(a)$ для всех $f \in C[a, b]$. Используя теорему 7, продолжите $\psi$ до непрерывного линейного функционала на всём $L^{\infty }[a, b]$ (см. предыдущую задачу). Теорема 7: пусть $X_{0}$ — линейное подпространство нормированного линейного пространства $X$. Тогда всякий ограниченный линейный функционал $\psi$ на $X_{0}$ имеет продолжение до ограниченного линейного функционала на всём $X$, обладающего той же нормой, что и $\psi$. В частности, для каждого $x \in X$, $x \neq 0$, существует $\psi \in X^{*}$, для которого $\psi (x) = \left\| x\right\|$ и $\left\| \psi \right\|_{*} = 1$. Покажите, что не существует функции $h \in L^{1}[a, b]$, для которой

Покажите, что семейство ограниченных линейных функционалов равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное линейное пространство. Покажите, что его замкнутая единичная сфера $S = \left\{ x \in X \mid \left\| x\right\| = 1\right\}$ также сепарабельна.

Найдите компактное метрическое пространство $X$, для которого $C(X)$, нормированное максимум-нормой, рефлексивно.

Пусть $c_{0}$ — подпространство $\ell^{\infty }$, состоящее из последовательностей, сходящихся к 0. Покажите, что $c_{0}$ является замкнутым подпространством $\ell^{\infty }$, сопряжённое пространство к которому изоморфно $\ell^{1}$. Заключите, что $c_{0}$ не рефлексивно, а значит, не рефлексивно и $\ell^{\infty }$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что пространство последовательностей $\ell^{p}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $1 < p < \infty$. (Случай $p = \infty$ см. в предыдущей задаче.)

Рассмотрим функционал $\psi \in (C[-1,1])^{*}$, определённый формулой

Покажите, что $\psi$ не достигает максимума на замкнутом единичном шаре $C[-1,1]$. Используя это, приведите ещё одно доказательство того, что $C[-1,1]$ не рефлексивно.

Для $1 < p < \infty$ покажите, что ограниченная последовательность в $\ell^{p}$ сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится покомпонентно.

Для $1 \leq p < \infty$ и $[a, b]$ — замкнутого ограниченного интервала вещественных чисел — покажите, что ограниченная последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}[a, b]$ сходится слабо к $f$ тогда и только тогда, когда $\left\{ \int_{E} f_{n} d m\right\} \rightarrow \int_{E} f d m$ для всякого измеримого по Лебегу подмножества $E$ отрезка $[a, b]$.

Для $[a, b]$ — замкнутого ограниченного интервала вещественных чисел — покажите, что если последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $C[a, b]$ сходится слабо, то она сходится поточечно.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и оператора $S \in \mathcal{L}(X, Y)$ определим сопряжённый оператор к $S$, $S^{*} \in \mathcal{L}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$, формулой

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство, а $T: X \rightarrow X$ — линейный оператор. Покажите, что $T$ принадлежит $\mathcal{L}(X, X)$ тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится слабо к $x,\left\{ T\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится слабо к $T(x)$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $W$ — подпространство $X^{*}$. Покажите, что $W$-слабая топология на $X$ хаусдорфова тогда и только тогда, когда $W$ разделяет точки $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ — линейное отображение. Покажите, что $\psi$ непрерывен относительно слабой топологии тогда и только тогда, когда он непрерывен относительно сильной топологии.

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, а $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ — линейное отображение. Покажите, что $\psi$ непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в начале координат.

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, а $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ — линейное отображение. Покажите, что $\psi$ непрерывен тогда и только тогда, когда существует окрестность $\mathcal{O}$ начала координат, для которой $f(\mathcal{O}) \neq \mathbb {R}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $W$ — подпространство $X^{*}$, разделяющее точки. Для произвольного топологического пространства $Z$ покажите, что отображение $f: Z \rightarrow X$ непрерывно, где на $X$ задана $W$-слабая топология, тогда и только тогда, когда $\psi \circ f: Z \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывно для всех $\psi \in W$.

Покажите, что топология на конечномерном локально выпуклом топологическом векторном пространстве индуцирована нормой.

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое пространство. Покажите, что линейное пространство $X^{\prime }$ всех линейных непрерывных функционалов $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ также обладает топологией, относительно которой оно является локально выпуклым топологическим пространством, на котором для каждого $x \in X$ линейный функционал $\psi \mapsto \psi (x)$ непрерывен.

Пусть $X$ и $Y$ — локально выпуклые топологические векторные пространства, а $T: X \rightarrow Y$ — линейное, взаимно однозначное и сюръективное отображение. Покажите, что $T$ является топологическим гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно переводит базу окрестностей начала координат для топологии на $X$ в базу окрестностей начала координат для топологии на $Y$.

Пусть $X$ — линейное пространство, и функция $\sigma : X \rightarrow [0, \infty )$ обладает следующими свойствами: для всех $u, v \in X$,

1. $\sigma (u+v) \leq \sigma (u)+\sigma (v)$;

2. $\sigma (u) = 0$ тогда и только тогда, когда $u = 0$;

3. $\sigma (u) = \sigma (-u)$. Определим $\rho (u, v) = \sigma (u-v)$. Покажите, что $\rho$ является метрикой на $X$.

Пусть $X$ — линейное пространство всех измеримых по Лебегу функций на $[0,1]$. Определим

Для $0 < p < 1$ пусть $X$ — линейное пространство всех измеримых (относительно меры Лебега $m$) вещественнозначных функций на $[0,1]$, для которых $\left|f\right|^{p}$ интегрируема. Определим

Пусть $\mathcal{S}$ — пространство всех последовательностей вещественных чисел, и определим

Покажите, что $\sigma$ индуцирует на $\mathcal{S}$ метрику, относительно которой $\mathcal{S}$ является топологическим векторным пространством с метрической топологией. Каков наиболее общий вид непрерывного линейного функционала на $\mathcal{S}$?

Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $e_{n}$ последовательность в $\ell^{2}$, у которой $n$-я компонента равна 1, а остальные компоненты равны нулю. Определим $E = \left\{ e_{n}+n \cdot e_{m} \mid n \text{ и } m \text{ — произвольные натуральные числа}, m > n\right\}$. Мы показали, что 0 является точкой прикосновения множества $E$, но никакая последовательность в $E$ не сходится слабо к 0.

Рассмотрим топологическое пространство $X = E \cup \left\{ 0\right\}$ со слабой топологией. Найдите функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, которая не является непрерывной в 0, но при этом обладает тем свойством, что всякий раз, когда последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в $E$ сходится слабо к 0, её образ $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится к $f(0)$.

Найдите подмножество плоскости $\mathbb {R}^{2}$, для которого начало координат является внутренней в алгебраическом смысле точкой, но не является внутренней точкой (в топологическом смысле).

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, а $V$ — выпуклая, симметричная относительно начала координат (то есть $V = -V$) окрестность начала координат. Если $p_{V}$ — калибровочный функционал (функционал Минковского) для $V$, а $\psi$ — линейный вещественнозначный функционал на $X$ такой, что $\psi \leq p_{V}$ на $X$, покажите, что $\psi$ непрерывен.

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, $Y$ — замкнутое подпространство $X$, а $x_{0}$ принадлежит $X \sim Y$. Покажите, что существует непрерывный функционал $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $W$ — собственное подпространство $X^{*}$, разделяющее точки. Пусть $\psi$ принадлежит $X^{*} \sim W$. Покажите, что ker $\psi$ сильно замкнуто и выпукло, но не $W$-слабо замкнуто.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что замкнутый единичный шар $B^{*}$ пространства $X^{*}$ слабо-* замкнут.

Покажите, что теорему об отделимости гиперплоскостью можно усилить следующим образом: точку $x_{0}$ можно заменить выпуклым множеством $K_{0}$, не пересекающимся с $K$, и заключение состоит в том, что $K$ и $K_{0}$ можно отделить замкнутой гиперплоскостью, если $K_{0}$ компактно. Если $K_{0}$ открыто, то существует непрерывный линейный функционал $\psi$ на $X$, для которого $\psi \left(x_{0}\right) < \inf_{x \in K} \psi (x)$ для всех $x_{0} \in K_{0}$.

Покажите, что слабая топология на бесконечномерном нормированном линейном пространстве не является первым счетной.

Покажите, что каждое слабо компактное подмножество нормированного линейного пространства ограничено по норме.

Пусть $Y$ — замкнутое подпространство рефлексивного банахова пространства $X$. Для $x_{0} \in X \sim Y$ покажите, что в $Y$ существует точка, ближайшая к $x_{0}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, $W$ — конечномерное подпространство в $X^{*}$, а $\psi$ — функционал из $X^{*} \sim W$. Покажите, что существует вектор $x \in X$ такой, что $\psi (x) \neq 0$, в то время как $\varphi (x) = 0$ для всех $\varphi$ из $W$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что любое плотное подмножество $B^{*} = \left\{ \psi \in X^{*} \mid \left\| \psi \right\| \leq 1\right\}$ разделяет точки в $X$.

Завершите последнюю часть доказательства Предложения 24.

Предложение 24: Пусть $K$ — выпуклое подмножество линейного пространства $X$, содержащее начало координат как внутреннюю точку, и пусть $p_{K}$ — калибровочный функционал (функционал Минковского) для $K$, определяемый как $p_{K}(x) = \inf \left\{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \cdot K\right\}$. Тогда $p_{K}$ субаддитивен и положительно однороден. Приведенное доказательство устанавливает лишь субаддитивность и оставляет доказательство положительной однородности — того, что $p_{K}(\lambda x) = \lambda \cdot p_{K}(x)$ для всех $\lambda > 0$ и $x \in X$, — как часть, которую нужно завершить.

Найдите пример ограниченного подмножества $A$ нормированного линейного пространства $X$, множества функционалов $\mathcal{F}$ в $X^{*}$, содержащего $\mathcal{F}_{0}$ в качестве плотного подмножества $\mathcal{F}$ (плотного в смысле топологии нормы на $X^{*}$), такого, что $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F}_{0}$ порождают различные слабые топологии для $X$, но одну и ту же слабую топологию для $A$.

Найдите крайние точки каждого из следующих подмножеств плоскости $\mathbb {R}^{2}$:

В каждом из следующих пунктов $B$ обозначает замкнутый единичный шар нормированного линейного пространства $X$.

Норма на линейном пространстве называется строго выпуклой, если для любых различных единичных векторов $u$ и $v$ и любого $0 < \lambda < 1$ выполняется $\left\| \lambda u+(1-\lambda ) v\right\| < 1$. Покажите, что евклидова норма на $\mathbb {R}^{n}$ и обычная норма на $L^{p}[a, b], 1 < p < \infty$ строго выпуклы.