Линейные функционалы, ограниченные линейные функционалы и слабые топологии

Проверьте два утверждения о прямой подстановке в доказательстве предложения 4.

Предложение 4: пусть $X$ — линейное пространство, функционал $\psi$ принадлежит $X^{\sharp }$, и $\left\{ \psi_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ содержится в $X^{\sharp }$. Тогда $\psi$ является линейной комбинацией $\left\{ \psi_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ тогда и только тогда, когда $\bigcap_{i=1}^{n} \ker \psi_{i} \subseteq \ker \psi$. Доказательство ведётся индукцией по $n$. В базовом случае $n=1$, выбрав $x_{0} \neq 0$ с $\psi (x_{0}) = 1$ (так что $\psi_{1}(x_{0}) \neq 0$) и определив $\lambda_{1} = 1/\psi_{1}(x_{0})$, прямой подстановкой показывается, что $\psi = \lambda_{1}\psi_{1}$. На индуктивном шаге, имея вещественные числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k-1}$, для которых $\psi = \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_{i} \psi_{i}$ на $Y = \ker \psi_{k}$, и $x_{0}$ с $\psi_{k}(x_{0}) = 1$, определяют $\lambda_{k} = \psi (x_{0}) - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_{i} \psi_{i}(x_{0})$; прямой подстановкой показывается, что $\psi = \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \psi_{i}$ на $X$.

Пусть $X_{0}$ — подпространство коразмерности 1 нормированного линейного пространства $X$. Покажите, что $X_{0}$ замкнуто относительно сильной топологии тогда и только тогда, когда $X_{0} = \operatorname {ker} \psi$ для некоторого $\psi \in X^{*}$.

Покажите, что если $X$ — конечномерное нормированное линейное пространство, то всякий линейный функционал на $X$ непрерывен.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное линейное пространство размерности $n$. Пусть $\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\}$ — базис $X$. Для $1 \leq i \leq n$ определим $\psi_{i} \in X^{*}$ формулой $\psi_{i}(x) = x_{i}$ для $x = x_{i} e_{i}+\cdots +x_{n} e_{n} \in X$. Покажите, что $\left\{ \psi_{1}, \ldots , \psi_{n}\right\}$ является базисом $X^{*}$. Таким образом, $\operatorname {dim} X^{*} = n$.

Пусть $X$ — конечномерное линейное пространство. Покажите, что слабая и сильная топологии на $X$ совпадают.

Покажите, что всякое непустое слабо открытое подмножество бесконечномерного нормированного линейного пространства неограничено относительно нормы.

Пусть $X$ — конечномерное пространство. Покажите, что естественное вложение $J: X \rightarrow X^{* *}$ взаимно однозначно. Затем, используя задачу 5, покажите, что $J: X \rightarrow X^{* *}$ сюръективно, так что $X$ рефлексивно.

Для вектора $v \neq 0$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ явно предъявите линейный функционал $\psi : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi (v) = 1$.

Для последовательности $\left\{ x_{n}\right\} \neq 0$ в $\ell^{2}$ явно предъявите непрерывный линейный функционал $\psi : \ell^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi \left(\left\{ x_{n}\right\} \right) = 1$.

Для функции $f \neq 0$ в $L^{p}[a, b], 1 \leq p \leq \infty$, явно предъявите непрерывный линейный функционал $\psi : L^{p}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi (f) = 1$.

Рассмотрим $C[a, b]$ с максимум-нормой. Для функции $f \neq 0$ в $C[a, b]$ явно предъявите непрерывный линейный функционал $\psi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которого $\psi (f) = 1$.

Для $1 < p < \infty$ пусть $Y$ — замкнутое подпространство $L^{p}[a, b]$ коразмерности 1. Покажите, что существует функция $g \in L^{q}[a, b]$, где $q$ сопряжено с $p$, для которой

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $\psi$ принадлежит $X^{\sharp } \sim X^{*}$. Покажите, что ker $\psi$ плотно в $X$ относительно сильной топологии.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство многочленов, ограниченных на $[a, b]$. Для $p \in X$ определим $\psi (p)$ как сумму коэффициентов $p$. Покажите, что $\psi$ линеен. Непрерывен ли $\psi$, если $X$ снабжено топологией, индуцированной максимум-нормой?

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство последовательностей вещественных чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых членов. Для $x = \left\{ x_{n}\right\} \in X$ определим $\psi (x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$. Покажите, что $\psi$ линеен. Непрерывен ли $\psi$, если $X$ снабжено топологией, индуцированной нормой $\ell^{\infty }$?

Пусть $X$ — линейное пространство. Подмножество $E$ пространства $X$ называется линейно независимым при условии, что каждый $x \in E$ не является конечной линейной комбинацией точек $E \sim \left\{ x\right\}$. Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непустых линейно независимых подмножеств $X$. Упорядочим $\mathcal{F}$ по включению множеств. Примените лемму Цорна, чтобы заключить, что $X$ обладает базисом Гамеля.

Приведите пример разрывного линейного оператора $T$ из нормированного линейного пространства $X$ в нормированное линейное пространство $Y$, для которого $T$ имеет замкнутый график. Противоречит ли это теореме о замкнутом графике?