Отделимость выпуклых множеств и теорема Мазура

Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $e_{n}$ последовательность в $\ell^{2}$, у которой $n$-я компонента равна 1, а остальные компоненты равны нулю. Определим $E = \left\{ e_{n}+n \cdot e_{m} \mid n \text{ и } m \text{ — произвольные натуральные числа}, m > n\right\}$. Мы показали, что 0 является точкой прикосновения множества $E$, но никакая последовательность в $E$ не сходится слабо к 0.

Рассмотрим топологическое пространство $X = E \cup \left\{ 0\right\}$ со слабой топологией. Найдите функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, которая не является непрерывной в 0, но при этом обладает тем свойством, что всякий раз, когда последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в $E$ сходится слабо к 0, её образ $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится к $f(0)$.

Найдите подмножество плоскости $\mathbb {R}^{2}$, для которого начало координат является внутренней в алгебраическом смысле точкой, но не является внутренней точкой (в топологическом смысле).

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, а $V$ — выпуклая, симметричная относительно начала координат (то есть $V = -V$) окрестность начала координат. Если $p_{V}$ — калибровочный функционал (функционал Минковского) для $V$, а $\psi$ — линейный вещественнозначный функционал на $X$ такой, что $\psi \leq p_{V}$ на $X$, покажите, что $\psi$ непрерывен.

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, $Y$ — замкнутое подпространство $X$, а $x_{0}$ принадлежит $X \sim Y$. Покажите, что существует непрерывный функционал $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $W$ — собственное подпространство $X^{*}$, разделяющее точки. Пусть $\psi$ принадлежит $X^{*} \sim W$. Покажите, что ker $\psi$ сильно замкнуто и выпукло, но не $W$-слабо замкнуто.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что замкнутый единичный шар $B^{*}$ пространства $X^{*}$ слабо-* замкнут.

Покажите, что теорему об отделимости гиперплоскостью можно усилить следующим образом: точку $x_{0}$ можно заменить выпуклым множеством $K_{0}$, не пересекающимся с $K$, и заключение состоит в том, что $K$ и $K_{0}$ можно отделить замкнутой гиперплоскостью, если $K_{0}$ компактно. Если $K_{0}$ открыто, то существует непрерывный линейный функционал $\psi$ на $X$, для которого $\psi \left(x_{0}\right) < \inf_{x \in K} \psi (x)$ для всех $x_{0} \in K_{0}$.

Покажите, что слабая топология на бесконечномерном нормированном линейном пространстве не является первым счетной.

Покажите, что каждое слабо компактное подмножество нормированного линейного пространства ограничено по норме.

Пусть $Y$ — замкнутое подпространство рефлексивного банахова пространства $X$. Для $x_{0} \in X \sim Y$ покажите, что в $Y$ существует точка, ближайшая к $x_{0}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, $W$ — конечномерное подпространство в $X^{*}$, а $\psi$ — функционал из $X^{*} \sim W$. Покажите, что существует вектор $x \in X$ такой, что $\psi (x) \neq 0$, в то время как $\varphi (x) = 0$ для всех $\varphi$ из $W$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что любое плотное подмножество $B^{*} = \left\{ \psi \in X^{*} \mid \left\| \psi \right\| \leq 1\right\}$ разделяет точки в $X$.

Завершите последнюю часть доказательства Предложения 24.

Предложение 24: Пусть $K$ — выпуклое подмножество линейного пространства $X$, содержащее начало координат как внутреннюю точку, и пусть $p_{K}$ — калибровочный функционал (функционал Минковского) для $K$, определяемый как $p_{K}(x) = \inf \left\{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \cdot K\right\}$. Тогда $p_{K}$ субаддитивен и положительно однороден. Приведенное доказательство устанавливает лишь субаддитивность и оставляет доказательство положительной однородности — того, что $p_{K}(\lambda x) = \lambda \cdot p_{K}(x)$ для всех $\lambda > 0$ и $x \in X$, — как часть, которую нужно завершить.

Найдите пример ограниченного подмножества $A$ нормированного линейного пространства $X$, множества функционалов $\mathcal{F}$ в $X^{*}$, содержащего $\mathcal{F}_{0}$ в качестве плотного подмножества $\mathcal{F}$ (плотного в смысле топологии нормы на $X^{*}$), такого, что $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F}_{0}$ порождают различные слабые топологии для $X$, но одну и ту же слабую топологию для $A$.