Рефлексивные банаховы пространства и слабая последовательная сходимость

Покажите, что семейство ограниченных линейных функционалов равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное линейное пространство. Покажите, что его замкнутая единичная сфера $S = \left\{ x \in X \mid \left\| x\right\| = 1\right\}$ также сепарабельна.

Найдите компактное метрическое пространство $X$, для которого $C(X)$, нормированное максимум-нормой, рефлексивно.

Пусть $c_{0}$ — подпространство $\ell^{\infty }$, состоящее из последовательностей, сходящихся к 0. Покажите, что $c_{0}$ является замкнутым подпространством $\ell^{\infty }$, сопряжённое пространство к которому изоморфно $\ell^{1}$. Заключите, что $c_{0}$ не рефлексивно, а значит, не рефлексивно и $\ell^{\infty }$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что пространство последовательностей $\ell^{p}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $1 < p < \infty$. (Случай $p = \infty$ см. в предыдущей задаче.)

Рассмотрим функционал $\psi \in (C[-1,1])^{*}$, определённый формулой

Покажите, что $\psi$ не достигает максимума на замкнутом единичном шаре $C[-1,1]$. Используя это, приведите ещё одно доказательство того, что $C[-1,1]$ не рефлексивно.

Для $1 < p < \infty$ покажите, что ограниченная последовательность в $\ell^{p}$ сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится покомпонентно.

Для $1 \leq p < \infty$ и $[a, b]$ — замкнутого ограниченного интервала вещественных чисел — покажите, что ограниченная последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}[a, b]$ сходится слабо к $f$ тогда и только тогда, когда $\left\{ \int_{E} f_{n} d m\right\} \rightarrow \int_{E} f d m$ для всякого измеримого по Лебегу подмножества $E$ отрезка $[a, b]$.

Для $[a, b]$ — замкнутого ограниченного интервала вещественных чисел — покажите, что если последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $C[a, b]$ сходится слабо, то она сходится поточечно.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и оператора $S \in \mathcal{L}(X, Y)$ определим сопряжённый оператор к $S$, $S^{*} \in \mathcal{L}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$, формулой

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство, а $T: X \rightarrow X$ — линейный оператор. Покажите, что $T$ принадлежит $\mathcal{L}(X, X)$ тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится слабо к $x,\left\{ T\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится слабо к $T(x)$.