Банк задач по математике

Задача 18.42

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $W$ — подпространство $X^{*}$ . Покажите, что $W$ -слабая топология на $X$ хаусдорфова тогда и только тогда, когда $W$ разделяет точки $X$ .

?

Задача 18.43

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ — линейное отображение. Покажите, что $\psi$ непрерывен относительно слабой топологии тогда и только тогда, когда он непрерывен относительно сильной топологии.

?

Задача 18.44

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, а $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ — линейное отображение. Покажите, что $\psi$ непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в начале координат.

?

Задача 18.45

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство, а $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ — линейное отображение. Покажите, что $\psi$ непрерывен тогда и только тогда, когда существует окрестность $\mathcal{O}$ начала координат, для которой $f(\mathcal{O}) \neq \mathbb {R}$ .

?

Задача 18.46

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $W$ — подпространство $X^{*}$ , разделяющее точки. Для произвольного топологического пространства $Z$ покажите, что отображение $f: Z \rightarrow X$ непрерывно, где на $X$ задана $W$ -слабая топология, тогда и только тогда, когда $\psi \circ f: Z \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывно для всех $\psi \in W$ .

?

Задача 18.47

Покажите, что топология на конечномерном локально выпуклом топологическом векторном пространстве индуцирована нормой.

?

Задача 18.48

Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое пространство. Покажите, что линейное пространство $X^{\prime }$ всех линейных непрерывных функционалов $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ также обладает топологией, относительно которой оно является локально выпуклым топологическим пространством, на котором для каждого $x \in X$ линейный функционал $\psi \mapsto \psi (x)$ непрерывен.

?

Задача 18.49

Пусть $X$ и $Y$ — локально выпуклые топологические векторные пространства, а $T: X \rightarrow Y$ — линейное, взаимно однозначное и сюръективное отображение. Покажите, что $T$ является топологическим гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно переводит базу окрестностей начала координат для топологии на $X$ в базу окрестностей начала координат для топологии на $Y$ .

?

Задача 18.50

Пусть $X$ — линейное пространство, и функция $\sigma : X \rightarrow [0, \infty )$ обладает следующими свойствами: для всех $u, v \in X$ ,

$\sigma (u+v) \leq \sigma (u)+\sigma (v)$ ;
$\sigma (u) = 0$ тогда и только тогда, когда $u = 0$ ;
$\sigma (u) = \sigma (-u)$ . Определим $\rho (u, v) = \sigma (u-v)$ . Покажите, что $\rho$ является метрикой на $X$ .

?

Задача 18.51

Пусть $X$ — линейное пространство всех измеримых по Лебегу функций на $[0,1]$ . Определим

\sigma (f) = \int _{[0,1]} \frac{\left|f\right|}{1+\left|f\right|} d m \text{ для всех } f \in X .

?

(i)

Отождествив функции, равные почти всюду, используя задачу 50, покажите, что $\rho (u, v) = \sigma (u-v)$ задаёт метрику на $X$ .

(ii)

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ относительно метрики $\rho$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ по мере.

(iii)

Покажите, что $(X, \rho )$ является полным метрическим пространством.

(iv)

Покажите, что отображение $(f, g) \mapsto f+g$ непрерывно отображает $X \times X$ в $X$ .

(v)

Покажите, что отображение $(\lambda , f) \mapsto \lambda \cdot f$ непрерывно отображает $\mathbb {R} \times X$ в $X$ .

(vi)

Покажите, что не существует ненулевых непрерывных линейных функционалов $\psi$ на $X$ .

Задача 18.52

Для $0 < p < 1$ пусть $X$ — линейное пространство всех измеримых (относительно меры Лебега $m$ ) вещественнозначных функций на $[0,1]$ , для которых $\left|f\right|^{p}$ интегрируема. Определим

\sigma (f) = \int _{[0,1]}\left|f\right|^{p} d m \text{ для всех } f \in X

?

(i)

Используя задачу 50, покажите, что $\rho (u, v) = \sigma (u-v)$ задаёт метрику на $X$ .

(ii)

Покажите, что линейное пространство $X$ с топологией, определённой $\rho$ , является топологическим векторным пространством.

(iii)

Для неотрицательной функции $f$ из $X$ и натурального числа $n$ покажите, что существует разбиение $0 = x_{0} < x_{1} < \ldots x_{n} = 1$ отрезка $[0,1]$ , для которого $\int_{x_{k-1}}^{x_{k}} f^{p} d m = 1 / n \cdot \int_{0}^{1} f^{p} d m$ для всех $1 \leq k \leq n$ .

(iv)

Для неотрицательной функции $f$ из $X$ и натурального числа $n$ покажите, что существуют функции $f_{1}, \ldots , f_{n}$ , для которых $\rho \left(f_{k}, 0\right) < 1 / n^{1-p} \int_{0}^{1} f^{p} d m$ при $1 \leq k \leq n$ и

f = \sum _{k = 1}^{n} 1 / n \cdot f_{k} .

(v)

Покажите, что на $X$ не существует непрерывных ненулевых линейных функционалов.

Задача 18.53

Пусть $\mathcal{S}$ — пространство всех последовательностей вещественных чисел, и определим

\sigma (x) = \sum \frac{\left|x_{n}\right|}{2^{n}\left[1+\left|x_{n}\right|\right]} \text{ для всех } x = \left\{ x_{n}\right\} \in \mathcal{S} .

Покажите, что $\sigma$ индуцирует на $\mathcal{S}$ метрику, относительно которой $\mathcal{S}$ является топологическим векторным пространством с метрической топологией. Каков наиболее общий вид непрерывного линейного функционала на $\mathcal{S}$ ?

?

Локально выпуклые топологические векторные пространства