Теорема Хана-Банаха

Пусть $X$ — линейное подпространство $C[0,1]$, замкнутое как подмножество $L^{2}[0,1]$. Проверьте следующие утверждения, чтобы показать, что $X$ конечномерно. Последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ принадлежит $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, $\psi$ принадлежит $X^{*}$, и $\left\{ \psi_{n}\right\}$ принадлежит $X^{*}$. Покажите, что если $\left\{ \psi_{n}\right\}$ сходится слабо-* к $\psi$, то

Пусть $X = \mathbb {R}^{n}$ снабжено евклидовой нормой, $Y$ — подпространство $X$, а $\psi : Y \rightarrow \mathbb {R}$ — линейный функционал. Пусть $Y^{\perp }$ — линейное подпространство $\mathbb {R}^{n}$, состоящее из векторов, ортогональных $Y$. Тогда $\mathbb {R}^{n} = Y \oplus Y^{\perp }$. Для $x = y+y^{\prime }, y \in Y, y^{\prime } \in Y^{\perp }$, определим $\psi (x) = \psi (y)$. Покажите, что это корректно определяет $\psi \in \left(\mathbb {R}^{n}\right)^{*}$, является продолжением $\psi$ с $Y$ и имеет ту же норму, что и $\left.\psi \right|_{Y}$.

Пусть $X = L^{p} = L^{p}[a, b], 1 < p < \infty$, и $m$ — мера Лебега. Для $f \neq 0$ в $L^{p}$ определим

Используя неравенство Гёльдера, покажите, что $\psi \in \left(L^{p}\right)^{*},\left\| \psi \right\|_{*} = 1$ и $\psi (f) = \left\| f\right\|_{p}$.

Для каждой точки $x$ нормированного линейного пространства $X$ покажите, что

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $Y$ — замкнутое подпространство $X$. Покажите, что для каждого $x_{0} \in X \sim Y$ существует $\psi \in X^{*}$ такой, что

Пусть $Y$ — линейное подпространство нормированного линейного пространства $X$, а $z$ — вектор в $X$. Покажите, что

Пусть $X$ — векторное пространство. Подмножество $C$ пространства $X$ называется конусом при условии, что $x+y \in C$ и $\lambda x \in C$, когда $x, y$ принадлежат $C$ и $\lambda > 0$. Определим частичный порядок на $X$, полагая $x \prec y$, если $y-x \in C$. Линейный функционал $f$ на $X$ называется положительным (относительно конуса $C$) при условии, что $f \geq 0$ на $C$. Пусть $Y$ — произвольное подпространство $X$, обладающее тем свойством, что для каждого $x \in X$ найдётся $y \in Y$ с $x \prec y$. Предположим, что $f$ — линейный функционал на $Y$, положительный относительно конуса $C \cap Y$. Покажите, что $f$ может быть продолжен до линейного функционала на $X$, положительного относительно $C$.

Пусть $X_{0}$ — подмножество метрического пространства $X$. Используя теорему Титце о продолжении, покажите, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на $X_{0}$ имеет непрерывное продолжение на всё $X$ тогда и только тогда, когда $X_{0}$ замкнуто. Противоречит ли это теореме 7? Теорема 7: пусть $X_{0}$ — линейное подпространство нормированного линейного пространства $X$. Тогда всякий ограниченный линейный функционал $\psi$ на $X_{0}$ имеет продолжение до ограниченного линейного функционала на всём $X$, обладающего той же нормой, что и $\psi$. В частности, для каждого $x \in X$, $x \neq 0$, существует $\psi \in X^{*}$, для которого $\psi (x) = \left\| x\right\|$ и $\left\| \psi \right\|_{*} = 1$.

Пусть $F$ — замкнутое подмножество метрического пространства ($X, \rho$). Покажите, что точка $x \in X$ принадлежит $F$ тогда и только тогда, когда всякая непрерывная вещественнозначная функция на $X$, обращающаяся в нуль на $F$, также обращается в нуль в $x$. Можно ли использовать это для доказательства теоремы 10? Теорема 10: пусть $X_{0}$ — подпространство нормированного линейного пространства $X$. Тогда точка $x$ пространства $X$ принадлежит замыканию $X_{0}$ тогда и только тогда, когда всякий раз, когда непрерывный функционал $\psi \in X^{*}$ обращается в нуль на $X_{0}$, он также обращается в нуль в $x$.

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал вещественных чисел, и рассмотрим $L^{\infty }[a, b]$, формально понимаемое как совокупность классов эквивалентности по отношению поточечного равенства почти всюду среди существенно ограниченных функций. Пусть $X$ — подпространство $L^{\infty }[a, b]$, состоящее из тех классов эквивалентности, которые содержат непрерывную функцию. Покажите, что такой класс эквивалентности содержит ровно одну непрерывную функцию. Таким образом, $X$ линейно изоморфно $C[a, b]$, и потому, с точностью до этого отождествления, мы можем рассматривать $C[a, b]$ как линейное подпространство $L^{\infty }[a, b]$. Покажите, что $C[a, b]$ является замкнутым подпространством банахова пространства $L^{\infty }[a, b]$.

Определим $\psi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\psi (f) = f(a)$ для всех $f \in C[a, b]$. Используя теорему 7, продолжите $\psi$ до непрерывного линейного функционала на всём $L^{\infty }[a, b]$ (см. предыдущую задачу). Теорема 7: пусть $X_{0}$ — линейное подпространство нормированного линейного пространства $X$. Тогда всякий ограниченный линейный функционал $\psi$ на $X_{0}$ имеет продолжение до ограниченного линейного функционала на всём $X$, обладающего той же нормой, что и $\psi$. В частности, для каждого $x \in X$, $x \neq 0$, существует $\psi \in X^{*}$, для которого $\psi (x) = \left\| x\right\|$ и $\left\| \psi \right\|_{*} = 1$. Покажите, что не существует функции $h \in L^{1}[a, b]$, для которой