Теорема Крейна-Мильмана

$\left\{ (x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$;

$\left\{ (x, y) \mid \left|x\right|+\left|y\right| \leq 1\right\}$;

$\left\{ (x, y) \mid \max \left\{ x, y\right\} \leq 1\right\}$.

Если $X$ содержит более одной точки, покажите, что единственные возможные крайние точки $B$ имеют норму 1.

Если $X = L^{p}[a, b], 1 < p < \infty$, покажите, что каждый единичный вектор в $B$ является крайней точкой $B$.

Если $X = L^{\infty }[a, b]$, покажите, что крайние точки $B$ — это те функции $f \in B$, для которых $\left|f\right| = 1$ почти всюду на $[a, b]$.

Если $X = L^{1}[a, b]$, покажите, что $B$ не имеет ни одной крайней точки.

Если $X = l^{p}, 1 \leq p \leq \infty$, каковы крайние точки $B$?

Если $X = C(K)$, где $K$ — компактное хаусдорфово топологическое пространство, а $X$ нормировано максимум-нормой, каковы крайние точки $B$?