Топологические пространства: общие свойства

Покажите, что дискретная топология на непустом множестве $X$ является метрической топологией.

Покажите, что тривиальная топология на множестве имеет единственную базу.

Применительно к предложению 2, покажите, что если $\mathcal{B}$ — база некоторой топологии, то свойства (i) и (ii) выполняются.

Предложение 2: Для непустого множества $X$ пусть $\mathcal{B}$ — семейство подмножеств $X$. Тогда $\mathcal{B}$ является базой некоторой топологии для $X$ тогда и только тогда, когда (i) $\mathcal{B}$ покрывает $X$, то есть $X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$; и (ii) если $B_{1}$ и $B_{2}$ принадлежат $\mathcal{B}$ и $x \in B_{1} \cap B_{2}$, то существует множество $B$ в $\mathcal{B}$, для которого $x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$.

Пусть $\mathcal{T}_{1}$ и $\mathcal{T}_{2}$ — топологии на непустом множестве $X$. Покажите, что $\mathcal{T}_{1} = \mathcal{T}_{2}$ тогда и только тогда, когда существуют базы $\mathcal{B}_{1}$ для $\mathcal{T}_{1}$ и $\mathcal{B}_{2}$ для $\mathcal{T}_{2}$, связанные следующим образом в каждой точке $x$ множества $X$: для каждой окрестности $\mathcal{N}_{1}$ точки $x$, принадлежащей $\mathcal{B}_{1}$, существует окрестность $\mathcal{N}_{2}$ точки $x$, принадлежащая $\mathcal{B}_{2}$, для которой $\mathcal{N}_{2} \subseteq \mathcal{N}_{1}$, и для каждой окрестности $\mathcal{N}_{2}$ точки $x$, принадлежащей $\mathcal{B}_{2}$, существует окрестность $\mathcal{N}_{1}$ точки $x$, принадлежащая $\mathcal{B}_{1}$, для которой $\mathcal{N}_{1} \subseteq \mathcal{N}_{2}$.

Пусть $E$ — подмножество топологического пространства $X$.

Пусть $\mathcal{O}$ — открытое подмножество топологического пространства $X$. Для подмножества $E$ множества $X$ покажите, что $\mathcal{O}$ не пересекается с $E$ тогда и только тогда, когда оно не пересекается с $\bar{E}$.

Покажите, что совокупность промежутков вида $[a, b)$, где $a < b$, является базой некоторой топологии на множестве действительных чисел $\mathbb {R}$. Множество действительных чисел $\mathbb {R}$ с этой топологией называется прямой Зоргенфрея.

Рассмотрим верхнюю полуплоскость $\mathbb {R}^{2,+} = \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid y \geq 0\right\}$. Для точек $(x, y)$ с $y > 0$ возьмём в качестве базисной открытой окрестности обычный евклидов открытый шар с центром в ($x, y$), содержащийся в верхней полуплоскости. В качестве базисной открытой окрестности точки $(x, 0)$ возьмём множество, состоящее из самой этой точки и всех точек открытого евклидова шара в верхней полуплоскости, касающегося вещественной прямой в точке ($x, 0$). Покажите, что эта совокупность множеств является базой. Множество $\mathbb {R}^{2,+}$ с этой топологией называется плоскостью Мура.

Покажите, что если $F$ — замкнутое подмножество нормального пространства $X$, то подпространство $F$ нормально. Необходимо ли предполагать, что $F$ замкнуто?

Пусть $X$ — топологическое пространство. Покажите, что $X$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ $D = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}\right) \in X \times X \mid x_{1} = x_{2}\right\}$ является замкнутым подмножеством $X \times X$.

Рассмотрим множество действительных чисел с топологией, имеющей в качестве предбазы множества вида $(-\infty , c), c \in \mathbb {R}$. Покажите, что это пространство не является тихоновским.

В $\mathbb {R}^{n}$ пусть $\mathcal{B}$ — семейство множеств $\left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid p(x) \neq 0\right\}$, где $p$ — многочлен от $n$ переменных. Пусть $\mathcal{T}$ — топология на $X$, имеющая $\mathcal{B}$ в качестве предбазы. Покажите, что $\mathcal{T}$ — топология на $\mathbb {R}^{n}$, являющаяся тихоновской, но не хаусдорфовой.

Покажите, что прямая Зоргенфрея и плоскость Мура хаусдорфовы (см. задачи 7 и 8).

Топологическое пространство называется линделёфовым пространством, или обладающим свойством Линделёфа, если каждое открытое покрытие $X$ имеет счётное подпокрытие. Покажите, что если $X$ удовлетворяет второй аксиоме счётности, то оно линделёфово.

Пусть $X$ — несчётное множество точек, и пусть $\mathcal{T}$ состоит из $\emptyset$ и всех подмножеств $X$, имеющих конечные дополнения. Покажите, что $\mathcal{T}$ — топология на $X$ и что пространство ($X, \mathcal{T}$) не удовлетворяет первой аксиоме счётности.

Покажите, что пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счётности, сепарабельно, и что каждое подпространство пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, также удовлетворяет второй аксиоме счётности.

Покажите, что плоскость Мура сепарабельна (см. задачу 8). Покажите, что подпространство $\mathbb {R} \times \left\{ 0\right\}$ плоскости Мура не сепарабельно. Заключите, что плоскость Мура не метризуема и не удовлетворяет второй аксиоме счётности.

Покажите, что прямая Зоргенфрея удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не удовлетворяет второй, и тем не менее рациональные числа плотны в ней (см. задачу 7). Заключите, что прямая Зоргенфрея не метризуема.

Пусть $X_{1} = N \times N$, где $N$ обозначает множество натуральных чисел, и положим $X = X_{1} \cup \left\{ \omega \right\}$, где $\omega$ не принадлежит $X_{1}$. Для каждой последовательности $s = \left\{ m_{k}\right\}$ натуральных чисел и натурального числа $n$ определим

Пусть $f$ — отображение топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$, и пусть $\mathcal{S}$ — предбаза топологии на $Y$. Покажите, что $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз относительно $f$ каждого множества из $\mathcal{S}$ открыт в $X$.

Пусть $X$ — топологическое пространство.

Для топологических пространств $X$ и $Y$ пусть $f$ отображает $X$ в $Y$. Какие из следующих утверждений равносильны непрерывности $f$? Обоснуйте свои ответы.

Докажите предложение 11.

Предложение 11: Композиция непрерывных отображений между топологическими пространствами непрерывна.

Докажите предложение 12.

Предложение 12: Пусть $X$ — непустое множество, и пусть $\mathcal{F} = \left\{ f_{\lambda }: X \rightarrow X_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — совокупность отображений, параметризованных множеством $\Lambda$, где каждое $X_{\lambda }$ — топологическое пространство. Топология $\mathcal{T}$ на $X$, имеющая совокупность множеств $\mathcal{C} = \left\{ f_{\lambda }^{-1}(O_{\lambda }) \mid \lambda \in \Lambda , O_{\lambda } \text{ open in } X_{\lambda }\right\}$ в качестве предбазы, является слабейшей среди топологий на $X$, для которых каждое отображение $f_{\lambda }: X \rightarrow X_{\lambda }$ непрерывно. Мы называем $\mathcal{T}$ слабой топологией, порождённой $\mathcal{F}$.

Докажите, что сумма и произведение двух непрерывных действительнозначных функций, заданных на топологическом пространстве $X$, сами непрерывны.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность действительнозначных функций на множестве $X$. Найдите необходимые и достаточные условия на $\mathcal{F}$, при которых $X$, рассматриваемое как топологическое пространство со слабой топологией, порождённой $\mathcal{F}$, является тихоновским.

Для топологических пространств $X$ и $Y$ пусть отображение $f: X \rightarrow Y$ взаимно однозначно и является отображением на. Покажите, что следующие утверждения равносильны.

Для топологических пространств $X$ и $Y$ пусть $f$ — непрерывное отображение $X$ на $Y$. Если $X$ хаусдорфово, будет ли $Y$ хаусдорфовым? Если $X$ нормально, будет ли $Y$ нормальным?

Покажите, что обратное к гомеоморфизму отображение является гомеоморфизмом, и что композиция двух гомеоморфизмов, когда она определена, снова является гомеоморфизмом.

Предположим, что топологическое пространство $X$ обладает тем свойством, что каждая непрерывная действительнозначная функция на $X$ принимает минимальное значение. Покажите, что любое топологическое пространство, гомеоморфное $X$, также обладает этим свойством.

Предположим, что топологическое пространство $X$ обладает тем свойством, что образ каждой непрерывной действительнозначной функции на $X$ является промежутком. Покажите, что любое топологическое пространство, гомеоморфное $X$, также обладает этим свойством.

Покажите, что $\mathbb {R}$ гомеоморфно открытому ограниченному промежутку $(0,1)$, но не гомеоморфно замкнутому ограниченному промежутку $[0,1]$.

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, и рассмотрим отображение $f$ из $X$ в $Y$. Предположим, что $X = X_{1} \cup X_{2}$, и ограничения $f$ на топологические подпространства $X_{1}$ и $X_{2}$ непрерывны. Покажите, что $f$ не обязано быть непрерывным ни в одной точке $X$. Покажите, что $f$ непрерывно на $X$, если $X_{1}$ и $X_{2}$ открыты. Сравните это со случаем измеримых функций и наследованием измеримости от измеримости ограничений.

Покажите, что для любых двух чисел $a$ и $b$

Топологическое пространство называется счётно компактным, если каждое счётное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Для пространства $X$, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, покажите, что $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

Пусть $X$ — топологическое пространство. Докажите, что $X$ счётно компактно тогда и только тогда, когда для любой убывающей последовательности $\left\{ F_{n}\right\}$ непустых замкнутых подмножеств $X$ пересечение $\bigcap_{n = 1}^{\infty } F_{n}$ непусто.

Пусть $X$ компактно и хаусдорфово, а $\left\{ F_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — убывающая совокупность замкнутых подмножеств $X$. Пусть $\mathcal{O}$ — окрестность пересечения $\bigcap_{n = 1}^{\infty } F_{n}$. Покажите, что существует индекс $N$ такой, что $F_{n} \subseteq \mathcal{O}$ при $n \geq N$.

Покажите, что невозможно представить замкнутый ограниченный промежуток действительных чисел в виде попарно непересекающегося объединения счётной совокупности (содержащей более одного элемента) замкнутых ограниченных промежутков.

Пусть $f$ — непрерывное отображение компактного пространства $X$ на хаусдорфово пространство $Y$. Покажите, что любое отображение $g$ пространства $Y$ в $Z$, для которого $g \circ f$ непрерывно, само должно быть непрерывным.

Пусть ($X, \mathcal{T}$) — топологическое пространство.

Пусть $X$ и $Y$ — хаусдорфовы топологические пространства, а $Y^{X}$ — совокупность отображений из $X$ в $Y$. На $Y^{X}$ мы определяем топологию, называемую компактно-открытой топологией, взяв в качестве предбазы множества вида $\mathcal{U}_{K, \mathcal{O}} = \left\{ f: X \rightarrow Y \mid f(K) \subseteq \mathcal{O}\right\}$, где $K$ — компактное подмножество $X$, а $\mathcal{O}$ — открытое подмножество $Y$. Таким образом, компактно-открытая топология является слабейшей топологией на $Y^{X}$, при которой множества $\mathcal{U}_{K, \mathcal{O}}$ открыты.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных вещественнозначных функций на счётно компактном пространстве $X$. Предположим, что для каждого $x \in X$ последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ монотонно убывает к нулю. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к нулю равномерно.

Пусть $\left\{ C_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — совокупность связных подмножеств топологического пространства $X$, и предположим, что любые два из них имеют общую точку. Покажите, что объединение $\left\{ C_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ также связно.

Пусть $A$ — связное подмножество топологического пространства $X$, и предположим, что $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$. Покажите, что $B$ связно.

Покажите, что следующее подмножество плоскости связно, но не линейно связно.

Покажите, что линейно связное топологическое пространство $X$ связно. Также покажите, что каждое связное открытое подмножество $\mathcal{O}$ евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ линейно связно.

Рассмотрим окружность $C = \left\{ (x, y) \mid x^{2}+y^{2} = 1\right\}$ на плоскости $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что $C$ связна.

Покажите, что $\mathbb {R}^{n}$ связно.

Покажите, что компактное метрическое пространство ($X, \rho$) не является связным тогда и только тогда, когда существуют два непересекающихся непустых подмножества $A$ и $B$, объединение которых равно $X$, и $\epsilon > 0$ такое, что $\rho (u, v) \geq \epsilon$ для всех $u \in A, v \in B$. Покажите, что это не обязательно верно для некомпактных метрических пространств.

Покажите, что для любой точки ($x, y$) на плоскости $\mathbb {R}^{2}$ подпространство $\mathbb {R}^{2} \sim \left\{ (x, y)\right\}$ связно. Используйте это, чтобы показать, что $\mathbb {R}$ не гомеоморфно $\mathbb {R}^{2}$.

Проверьте эквивалентность трёх утверждений в (4).