Открытые множества, замкнутые множества, базы и предбазы

Покажите, что дискретная топология на непустом множестве $X$ является метрической топологией.

Покажите, что тривиальная топология на множестве имеет единственную базу.

Применительно к предложению 2, покажите, что если $\mathcal{B}$ — база некоторой топологии, то свойства (i) и (ii) выполняются.

Предложение 2: Для непустого множества $X$ пусть $\mathcal{B}$ — семейство подмножеств $X$. Тогда $\mathcal{B}$ является базой некоторой топологии для $X$ тогда и только тогда, когда (i) $\mathcal{B}$ покрывает $X$, то есть $X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$; и (ii) если $B_{1}$ и $B_{2}$ принадлежат $\mathcal{B}$ и $x \in B_{1} \cap B_{2}$, то существует множество $B$ в $\mathcal{B}$, для которого $x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$.

Пусть $\mathcal{T}_{1}$ и $\mathcal{T}_{2}$ — топологии на непустом множестве $X$. Покажите, что $\mathcal{T}_{1} = \mathcal{T}_{2}$ тогда и только тогда, когда существуют базы $\mathcal{B}_{1}$ для $\mathcal{T}_{1}$ и $\mathcal{B}_{2}$ для $\mathcal{T}_{2}$, связанные следующим образом в каждой точке $x$ множества $X$: для каждой окрестности $\mathcal{N}_{1}$ точки $x$, принадлежащей $\mathcal{B}_{1}$, существует окрестность $\mathcal{N}_{2}$ точки $x$, принадлежащая $\mathcal{B}_{2}$, для которой $\mathcal{N}_{2} \subseteq \mathcal{N}_{1}$, и для каждой окрестности $\mathcal{N}_{2}$ точки $x$, принадлежащей $\mathcal{B}_{2}$, существует окрестность $\mathcal{N}_{1}$ точки $x$, принадлежащая $\mathcal{B}_{1}$, для которой $\mathcal{N}_{1} \subseteq \mathcal{N}_{2}$.

Пусть $E$ — подмножество топологического пространства $X$.

Пусть $\mathcal{O}$ — открытое подмножество топологического пространства $X$. Для подмножества $E$ множества $X$ покажите, что $\mathcal{O}$ не пересекается с $E$ тогда и только тогда, когда оно не пересекается с $\bar{E}$.

Покажите, что совокупность промежутков вида $[a, b)$, где $a < b$, является базой некоторой топологии на множестве действительных чисел $\mathbb {R}$. Множество действительных чисел $\mathbb {R}$ с этой топологией называется прямой Зоргенфрея.

Рассмотрим верхнюю полуплоскость $\mathbb {R}^{2,+} = \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid y \geq 0\right\}$. Для точек $(x, y)$ с $y > 0$ возьмём в качестве базисной открытой окрестности обычный евклидов открытый шар с центром в ($x, y$), содержащийся в верхней полуплоскости. В качестве базисной открытой окрестности точки $(x, 0)$ возьмём множество, состоящее из самой этой точки и всех точек открытого евклидова шара в верхней полуплоскости, касающегося вещественной прямой в точке ($x, 0$). Покажите, что эта совокупность множеств является базой. Множество $\mathbb {R}^{2,+}$ с этой топологией называется плоскостью Мура.