Компактные топологические пространства

Топологическое пространство называется счётно компактным, если каждое счётное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Для пространства $X$, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, покажите, что $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

Пусть $X$ — топологическое пространство. Докажите, что $X$ счётно компактно тогда и только тогда, когда для любой убывающей последовательности $\left\{ F_{n}\right\}$ непустых замкнутых подмножеств $X$ пересечение $\bigcap_{n = 1}^{\infty } F_{n}$ непусто.

Пусть $X$ компактно и хаусдорфово, а $\left\{ F_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — убывающая совокупность замкнутых подмножеств $X$. Пусть $\mathcal{O}$ — окрестность пересечения $\bigcap_{n = 1}^{\infty } F_{n}$. Покажите, что существует индекс $N$ такой, что $F_{n} \subseteq \mathcal{O}$ при $n \geq N$.

Покажите, что невозможно представить замкнутый ограниченный промежуток действительных чисел в виде попарно непересекающегося объединения счётной совокупности (содержащей более одного элемента) замкнутых ограниченных промежутков.

Пусть $f$ — непрерывное отображение компактного пространства $X$ на хаусдорфово пространство $Y$. Покажите, что любое отображение $g$ пространства $Y$ в $Z$, для которого $g \circ f$ непрерывно, само должно быть непрерывным.

Пусть ($X, \mathcal{T}$) — топологическое пространство.

Пусть $X$ и $Y$ — хаусдорфовы топологические пространства, а $Y^{X}$ — совокупность отображений из $X$ в $Y$. На $Y^{X}$ мы определяем топологию, называемую компактно-открытой топологией, взяв в качестве предбазы множества вида $\mathcal{U}_{K, \mathcal{O}} = \left\{ f: X \rightarrow Y \mid f(K) \subseteq \mathcal{O}\right\}$, где $K$ — компактное подмножество $X$, а $\mathcal{O}$ — открытое подмножество $Y$. Таким образом, компактно-открытая топология является слабейшей топологией на $Y^{X}$, при которой множества $\mathcal{U}_{K, \mathcal{O}}$ открыты.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных вещественнозначных функций на счётно компактном пространстве $X$. Предположим, что для каждого $x \in X$ последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ монотонно убывает к нулю. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к нулю равномерно.