Свойства отделимости

Покажите, что если $F$ — замкнутое подмножество нормального пространства $X$, то подпространство $F$ нормально. Необходимо ли предполагать, что $F$ замкнуто?

Пусть $X$ — топологическое пространство. Покажите, что $X$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ $D = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}\right) \in X \times X \mid x_{1} = x_{2}\right\}$ является замкнутым подмножеством $X \times X$.

Рассмотрим множество действительных чисел с топологией, имеющей в качестве предбазы множества вида $(-\infty , c), c \in \mathbb {R}$. Покажите, что это пространство не является тихоновским.

В $\mathbb {R}^{n}$ пусть $\mathcal{B}$ — семейство множеств $\left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid p(x) \neq 0\right\}$, где $p$ — многочлен от $n$ переменных. Пусть $\mathcal{T}$ — топология на $X$, имеющая $\mathcal{B}$ в качестве предбазы. Покажите, что $\mathcal{T}$ — топология на $\mathbb {R}^{n}$, являющаяся тихоновской, но не хаусдорфовой.

Покажите, что прямая Зоргенфрея и плоскость Мура хаусдорфовы (см. задачи 7 и 8).