Счётность и сепарабельность

Топологическое пространство называется линделёфовым пространством, или обладающим свойством Линделёфа, если каждое открытое покрытие $X$ имеет счётное подпокрытие. Покажите, что если $X$ удовлетворяет второй аксиоме счётности, то оно линделёфово.

Пусть $X$ — несчётное множество точек, и пусть $\mathcal{T}$ состоит из $\emptyset$ и всех подмножеств $X$, имеющих конечные дополнения. Покажите, что $\mathcal{T}$ — топология на $X$ и что пространство ($X, \mathcal{T}$) не удовлетворяет первой аксиоме счётности.

Покажите, что пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счётности, сепарабельно, и что каждое подпространство пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, также удовлетворяет второй аксиоме счётности.

Покажите, что плоскость Мура сепарабельна (см. задачу 8). Покажите, что подпространство $\mathbb {R} \times \left\{ 0\right\}$ плоскости Мура не сепарабельно. Заключите, что плоскость Мура не метризуема и не удовлетворяет второй аксиоме счётности.

Покажите, что прямая Зоргенфрея удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не удовлетворяет второй, и тем не менее рациональные числа плотны в ней (см. задачу 7). Заключите, что прямая Зоргенфрея не метризуема.

Пусть $X_{1} = N \times N$, где $N$ обозначает множество натуральных чисел, и положим $X = X_{1} \cup \left\{ \omega \right\}$, где $\omega$ не принадлежит $X_{1}$. Для каждой последовательности $s = \left\{ m_{k}\right\}$ натуральных чисел и натурального числа $n$ определим