Непрерывные отображения, слабые топологии и метризуемость

Пусть $f$ — отображение топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$, и пусть $\mathcal{S}$ — предбаза топологии на $Y$. Покажите, что $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз относительно $f$ каждого множества из $\mathcal{S}$ открыт в $X$.

Пусть $X$ — топологическое пространство.

Для топологических пространств $X$ и $Y$ пусть $f$ отображает $X$ в $Y$. Какие из следующих утверждений равносильны непрерывности $f$? Обоснуйте свои ответы.

Докажите предложение 11.

Предложение 11: Композиция непрерывных отображений между топологическими пространствами непрерывна.

Докажите предложение 12.

Предложение 12: Пусть $X$ — непустое множество, и пусть $\mathcal{F} = \left\{ f_{\lambda }: X \rightarrow X_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — совокупность отображений, параметризованных множеством $\Lambda$, где каждое $X_{\lambda }$ — топологическое пространство. Топология $\mathcal{T}$ на $X$, имеющая совокупность множеств $\mathcal{C} = \left\{ f_{\lambda }^{-1}(O_{\lambda }) \mid \lambda \in \Lambda , O_{\lambda } \text{ open in } X_{\lambda }\right\}$ в качестве предбазы, является слабейшей среди топологий на $X$, для которых каждое отображение $f_{\lambda }: X \rightarrow X_{\lambda }$ непрерывно. Мы называем $\mathcal{T}$ слабой топологией, порождённой $\mathcal{F}$.

Докажите, что сумма и произведение двух непрерывных действительнозначных функций, заданных на топологическом пространстве $X$, сами непрерывны.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность действительнозначных функций на множестве $X$. Найдите необходимые и достаточные условия на $\mathcal{F}$, при которых $X$, рассматриваемое как топологическое пространство со слабой топологией, порождённой $\mathcal{F}$, является тихоновским.

Для топологических пространств $X$ и $Y$ пусть отображение $f: X \rightarrow Y$ взаимно однозначно и является отображением на. Покажите, что следующие утверждения равносильны.

Для топологических пространств $X$ и $Y$ пусть $f$ — непрерывное отображение $X$ на $Y$. Если $X$ хаусдорфово, будет ли $Y$ хаусдорфовым? Если $X$ нормально, будет ли $Y$ нормальным?

Покажите, что обратное к гомеоморфизму отображение является гомеоморфизмом, и что композиция двух гомеоморфизмов, когда она определена, снова является гомеоморфизмом.

Предположим, что топологическое пространство $X$ обладает тем свойством, что каждая непрерывная действительнозначная функция на $X$ принимает минимальное значение. Покажите, что любое топологическое пространство, гомеоморфное $X$, также обладает этим свойством.

Предположим, что топологическое пространство $X$ обладает тем свойством, что образ каждой непрерывной действительнозначной функции на $X$ является промежутком. Покажите, что любое топологическое пространство, гомеоморфное $X$, также обладает этим свойством.

Покажите, что $\mathbb {R}$ гомеоморфно открытому ограниченному промежутку $(0,1)$, но не гомеоморфно замкнутому ограниченному промежутку $[0,1]$.

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, и рассмотрим отображение $f$ из $X$ в $Y$. Предположим, что $X = X_{1} \cup X_{2}$, и ограничения $f$ на топологические подпространства $X_{1}$ и $X_{2}$ непрерывны. Покажите, что $f$ не обязано быть непрерывным ни в одной точке $X$. Покажите, что $f$ непрерывно на $X$, если $X_{1}$ и $X_{2}$ открыты. Сравните это со случаем измеримых функций и наследованием измеримости от измеримости ограничений.

Покажите, что для любых двух чисел $a$ и $b$