Связные топологические пространства

Пусть $\left\{ C_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — совокупность связных подмножеств топологического пространства $X$, и предположим, что любые два из них имеют общую точку. Покажите, что объединение $\left\{ C_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ также связно.

Пусть $A$ — связное подмножество топологического пространства $X$, и предположим, что $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$. Покажите, что $B$ связно.

Покажите, что следующее подмножество плоскости связно, но не линейно связно.

Покажите, что линейно связное топологическое пространство $X$ связно. Также покажите, что каждое связное открытое подмножество $\mathcal{O}$ евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ линейно связно.

Рассмотрим окружность $C = \left\{ (x, y) \mid x^{2}+y^{2} = 1\right\}$ на плоскости $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что $C$ связна.

Покажите, что $\mathbb {R}^{n}$ связно.

Покажите, что компактное метрическое пространство ($X, \rho$) не является связным тогда и только тогда, когда существуют два непересекающихся непустых подмножества $A$ и $B$, объединение которых равно $X$, и $\epsilon > 0$ такое, что $\rho (u, v) \geq \epsilon$ для всех $u \in A, v \in B$. Покажите, что это не обязательно верно для некомпактных метрических пространств.

Покажите, что для любой точки ($x, y$) на плоскости $\mathbb {R}^{2}$ подпространство $\mathbb {R}^{2} \sim \left\{ (x, y)\right\}$ связно. Используйте это, чтобы показать, что $\mathbb {R}$ не гомеоморфно $\mathbb {R}^{2}$.

Проверьте эквивалентность трёх утверждений в (4).