Метрические пространства: общие свойства

Метрика Никодима. Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное измеримое пространство. Для $A, B \in \mathcal{M}$ определим $\rho (A, B) = m(A \Delta B)$, где $A \Delta B = [A \sim B] \cup [B \sim A]$ — симметрическая разность $A$ и $B$. Назовём два измеримых множества эквивалентными, если их симметрическая разность имеет меру ноль. Покажите, что $\rho$ индуцирует метрику на совокупности классов эквивалентности. Наконец, покажите, что для $A, B \in \mathcal{M}$

где $\chi_{A}$ и $\chi_{B}$ — характеристические функции $A$ и $B$ соответственно.

Покажите, что для $a, b, c \geq 0$

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное измеримое пространство, а $\mathcal{F}$ — совокупность измеримых вещественнозначных функций на $X$. Для $f, g \in \mathcal{F}$ определим

Назовём две измеримые функции эквивалентными, если они равны почти всюду на $X$. Покажите, что $\rho$ индуцирует метрику на совокупности классов эквивалентности.

Для $0 < p < 1$ покажите, что

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — измеримое пространство и $0 < p < 1$. Для измеримых функций $g: X \rightarrow \mathbb {R}$ и $h: X \rightarrow \mathbb {R}$, у которых $p$-е степени интегрируемы, определим

Назовём две такие функции эквивалентными, если они равны почти всюду на $X$. Покажите, что $\rho_{p}(\cdot , \cdot )$ индуцирует метрику на совокупности классов эквивалентности.

Покажите, что неравенство треугольника для евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ следует из неравенства треугольника для $L^{2}[0,1]$.

Покажите, что следующие метрики индуцируют одни и те же сходящиеся последовательности в евклидовом пространстве:

Найдите метрику на $\mathbb {R}^{n}$, которая не индуцирует те же сходящиеся последовательности, что и метрика, индуцированная евклидовой нормой.

Покажите, что в метрическом пространстве открытый шар открыт.

В метрическом пространстве $X$ возможно ли, чтобы для $r > 0$ и двух различных точек $u$ и $v$ из $X$ выполнялось $B(u, r) = B(v, r)$? Возможно ли это в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$? Возможно ли это в нормированном линейном пространстве?

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, в котором $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ и $\left\{ v_{n}\right\} \rightarrow v$. Покажите, что $\left\{ \rho \left(u_{n}, v_{n}\right)\right\} \rightarrow \rho (u, v)$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $x$ принадлежит $X$ и $r > 0$.

Докажите предложение 2.

Предложение 2: Пусть $X$ — подпространство метрического пространства $Y$, а $E$ — подмножество $X$. Тогда $E$ открыто в $X$ тогда и только тогда, когда $E = X \cap O$, где $O$ открыто в $Y$.

Пусть $X$ — подпространство метрического пространства $Y$, а $A$ — подмножество $X$. Покажите, что $A$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда $A = X \cap F$, где $F$ замкнуто в $Y$.

Пусть $X$ — подпространство метрического пространства $Y$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ точка $x \in X$ называется внутренней точкой $E$, если существует открытый шар с центром в $x$, содержащийся в $E$: совокупность внутренних точек $E$ называется внутренностью $E$ и обозначается int $E$. Покажите, что int $E$ всегда открыто и что $E$ открыто тогда и только тогда, когда $E = \operatorname {int} E$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ точка $x \in X$ называется внешней точкой $E$, если существует открытый шар с центром в $x$, содержащийся в $X \sim E$: совокупность внешних точек $E$ называется внешностью $E$ и обозначается ext $E$. Покажите, что ext $E$ всегда открыто. Покажите, что $E$ замкнуто тогда и только тогда, когда $X \sim E = \operatorname {ext} E$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ точка $x \in X$ называется граничной точкой $E$, если каждый открытый шар с центром в $x$ содержит точки из $E$ и точки из $X \sim E$: совокупность граничных точек $E$ называется границей $E$ и обозначается bd $E$. Покажите

Пусть $A$ и $B$ — подмножества метрического пространства $X$. Покажите, что если $A \subseteq B$, то $\bar{A} \subseteq \bar{B}$. Также покажите, что $(\overline{A \cup B}) = \bar{A} \cup \bar{B}$ и $(\overline{A \cap B}) \subseteq \bar{A} \cap \bar{B}$.

Покажите, что для подмножества $E$ метрического пространства $X$ замыкание $E$ является пересечением всех замкнутых подмножеств $X$, содержащих $E$.

Пусть $\rho$ — метрика на множестве $X$. Определим

Проверьте, что $\tau$ — ограниченная метрика на $X$ и что сходимость последовательностей относительно метрики $\rho$ и метрики $\tau$ совпадает. Заключите, что множества, замкнутые относительно метрики $\rho$, замкнуты относительно метрики $\tau$, и что множества, открытые относительно метрики $\rho$, открыты относительно метрики $\tau$.

Приведите пример непрерывного отображения, не являющегося равномерно непрерывным, и равномерно непрерывного отображения, не являющегося липшицевым.

Покажите, что каждое отображение метрического пространства ($X, \rho$) в метрическое пространство ($Y, \sigma$) непрерывно, если $\rho$ — дискретная метрика.

Предположим, что существует непрерывное взаимно однозначное отображение метрического пространства ($X, \rho$) в метрическое пространство ($Y, \sigma$), где $\sigma$ — дискретная метрика. Покажите, что каждое подмножество $X$ открыто.

Для метрического пространства ($X, \rho$) покажите, что метрика $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, где $X \times X$ наделено метрикой произведения.

Пусть $z$ — точка метрического пространства ($X, \rho$). Определим функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ равенством $f(x) = \rho (x, z)$. Покажите, что $f$ равномерно непрерывна.

Для непустого подмножества $E$ метрического пространства ($X, \rho$) и точки $x \in X$ определим расстояние от $x$ до $E$, $\operatorname {dist}_{E}(x)$, следующим образом:

Покажите, что подмножество $E$ метрического пространства $X$ открыто тогда и только тогда, когда существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $X$, для которой $E = \left\{ x \in X \mid f(x) > 0\right\}$.

Покажите, что подмножество $E$ метрического пространства $X$ замкнуто тогда и только тогда, когда существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $X$, для которой $E = f^{-1}(0)$.

Пусть $X = C[a, b]$. Определим функцию $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ равенством

Покажите, что $\psi$ липшицева на метрическом пространстве $X$, где на $X$ задана метрика, индуцированная максимум-нормой.

В метрическом пространстве $X$ покажите

В метрическом пространстве $X$ покажите, что фундаментальная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она имеет сходящуюся подпоследовательность.

Определите понятие быстро фундаментальной последовательности в метрическом пространстве и покажите, что пространство полно тогда и только тогда, когда каждая быстро фундаментальная последовательность сходится.

Приведите пример убывающей счётной совокупности замкнутых непустых множеств вещественных чисел, пересечение которых пусто. Противоречит ли это теореме Кантора о пересечении?

Для отображения $f$ метрического пространства ($X, \rho$) в метрическое пространство ($Y, \sigma$) покажите, что $f$ равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда для любых двух последовательностей $\left\{ u_{n}\right\}$ и $\left\{ v_{n}\right\}$ из $X$

Для счётного декартова произведения метрических пространств, определённого в предложении 7, покажите, что произведение полно тогда и только тогда, когда полно каждое из пространств-сомножителей.

Предложение 7: Пусть $X = \prod_{n=1}^{\infty } X_{n}$ — декартово произведение счётной совокупности метрических пространств $\left\{ (X_{n}, \rho_{n})\right\}_{n=1}^{\infty }$. Для точек $u = \left\{ u_{n}\right\}$ и $v = \left\{ v_{n}\right\}$ из $X$ определим $\rho (u, v) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} \cdot \frac{\rho_{n}(u_{n}, v_{n})}{1 + \rho_{n}(u_{n}, v_{n})}$. Тогда $\rho$ — метрика на $X$, для которой сходимость последовательностей означает покомпонентную сходимость в каждом метрическом пространстве-сомножителе $(X_{n}, \rho_{n})$.

Для каждого индекса $n$ определим $f_{n}(x) = \alpha x^{n}+\beta \cos (x / n)$ при $0 \leq x \leq 1$. При каких значениях параметров $\alpha$ и $\beta$ последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ является фундаментальной последовательностью в метрическом пространстве $C[0,1]$?

Пусть $\mathcal{D}$ — подпространство $C[0,1]$, состоящее из непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, дифференцируемых на $(0,1)$. Полно ли $\mathcal{D}$?

Определим $\mathcal{L}$ как подпространство $C[0,1]$, состоящее из липшицевых функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$. Полно ли $\mathcal{L}$?

Для метрического пространства ($X, \rho$) завершите следующий план доказательства теоремы 12:

Теорема 12: Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство. Тогда существует полное метрическое пространство $(\widehat{X}, \widehat{\rho })$, для которого $X$ является плотным подмножеством $\widehat{X}$ и $\widehat{\rho }(u,v) = \rho (u,v)$ для всех $u, v \in X$. (Это пространство называется пополнением пространства $(X,\rho )$; оно единственно с точностью до изометрии, тождественной на $X$.)

Рассмотрим метрическое пространство $\mathbb {Q}$, состоящее из рациональных чисел с метрикой, индуцированной абсолютной величиной. Какие подпространства $\mathbb {Q}$ полны, а какие компактны?

Пусть $B = B(x, r)$ — открытый шар в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что $B$ не компактен, для чего

Когда множество $X$ с дискретной метрикой является компактным метрическим пространством?

Докажите предложение 23.

Предложение 23: Если подпространство $K$ метрического пространства $X$ компактно, то $K$ является замкнутым ограниченным подмножеством $X$.

Докажите, что если $X$ компактно, то $K \subseteq X$ компактно тогда и только тогда, когда оно является замкнутым подмножеством $X$.

Для счётного декартова произведения метрических пространств, рассмотренного в предложении 7, покажите, что произведение компактно тогда и только тогда, когда каждое пространство-сомножитель компактно.

Предложение 7: Пусть $X = \prod_{n=1}^{\infty } X_{n}$ — декартово произведение счётного семейства метрических пространств $\left\{ (X_{n}, \rho_{n})\right\}_{n=1}^{\infty }$. Для точек $u = \left\{ u_{n}\right\}$ и $v = \left\{ v_{n}\right\}$ в $X$ определим $\rho (u, v) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} \cdot \frac{\rho_{n}(u_{n}, v_{n})}{1 + \rho_{n}(u_{n}, v_{n})}$. Тогда $\rho$ — метрика на $X$, для которой сходимость последовательностей есть покоординатная сходимость в каждом координатном метрическом пространстве $(X_{n}, \rho_{n})$.

Пусть $E$ — подмножество компактного метрического пространства $X$. Покажите, что метрическое подпространство $E$ компактно тогда и только тогда, когда $E$ является замкнутым подмножеством $X$.

Пусть $\left\{ F_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — убывающее счётное семейство непустых замкнутых подмножеств компактного метрического пространства $X$. Покажите, что $\bigcap_{n = 1}^{\infty } F_{n} \neq \emptyset$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ покажите, что $E$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда его замыкание $\bar{E}$ вполне ограничено.

Для подмножества $E$ полного метрического пространства $X$ покажите, что $E$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда его замыкание $\bar{E}$ компактно.

Пусть $B = \left\{ \left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}^{2} \leq 1\right\}$ — замкнутый единичный шар в $\ell^{2}$. Покажите, что $B$ не компактен, для чего

Пусть $B = \left\{ f \in L^{2}[a, b] \mid \left\| f\right\|_{2} \leq 1\right\}$ — замкнутый единичный шар в $L^{2}[a, b]$. Покажите, что $B$ не компактен, для чего

Пусть $X$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

Пусть $\rho$ — метрика на множестве $X$. Определим

Убедитесь, что $\tau$ — ограниченная метрика на $X$, и что сходимость последовательностей относительно метрики $\rho$ и метрики $\tau$ совпадает. Заключите, что множества, замкнутые относительно метрики $\rho$, замкнуты относительно метрики $\tau$, и что множества, открытые относительно метрики $\rho$, открыты относительно метрики $\tau$.

Пусть $E$ — подмножество евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$. Предположим, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на $E$ принимает минимальное значение. Обязательно ли $E$ замкнуто и ограничено?

Предположим, что $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$, обладающая тем свойством, что существует положительное число $c$ такое, что $\left|f(x)\right| \geq c \cdot \left\| x\right\|$ для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$. Покажите, что если $K$ — компактное множество вещественных чисел, то его прообраз при отображении $f$, $f^{-1}(K)$, также компактен. (Отображения с этим свойством называются собственными.)

Для компактного метрического пространства ($X, \rho$) покажите, что существуют точки $u, v \in X$, для которых $\rho (u, v) = \operatorname {diam} X$.

Пусть $K$ — компактное подмножество метрического пространства ($X, \rho$), а $x_{0}$ принадлежит $X$. Покажите, что существует точка $z \in K$, для которой

Пусть $K$ — компактное подмножество метрического пространства $X$. Для точки $x \in X \sim K$ покажите, что существует открытое множество $\mathcal{U}$, содержащее $K$, и открытое множество $\mathcal{O}$, содержащее $x$, для которых $\mathcal{U} \cap \mathcal{O} = \emptyset$.

Пусть $A$ и $B$ — подмножества метрического пространства ($X, \rho$). Определим

Если $A$ компактно, а $B$ замкнуто, покажите, что $A \cap B = \emptyset$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {dist}(A, B) > 0$.

Пусть $K$ — компактное подмножество метрического пространства $X$, а $\mathcal{O}$ — открытое множество, содержащее $K$. Используя предыдущую задачу, покажите, что существует открытое множество $\mathcal{U}$, для которого $K \subseteq \mathcal{U} \subseteq \overline{\mathcal{U}} \subseteq \mathcal{O}$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, содержащее конечное плотное подмножество $D$. Покажите, что $X = D$.

Покажите, что если два непрерывных отображения, определённых на метрическом пространстве $X$, принимают одинаковые значения на плотном подмножестве, то они равны.

Докажите теорему Лузина для конечного борелевского пространства с мерой ($X, \mathcal{B}(X), \mu$), где $X$ — сепарабельное полное метрическое пространство.