Примеры метрических пространств

Метрика Никодима. Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное измеримое пространство. Для $A, B \in \mathcal{M}$ определим $\rho (A, B) = m(A \Delta B)$, где $A \Delta B = [A \sim B] \cup [B \sim A]$ — симметрическая разность $A$ и $B$. Назовём два измеримых множества эквивалентными, если их симметрическая разность имеет меру ноль. Покажите, что $\rho$ индуцирует метрику на совокупности классов эквивалентности. Наконец, покажите, что для $A, B \in \mathcal{M}$

где $\chi_{A}$ и $\chi_{B}$ — характеристические функции $A$ и $B$ соответственно.

Покажите, что для $a, b, c \geq 0$

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное измеримое пространство, а $\mathcal{F}$ — совокупность измеримых вещественнозначных функций на $X$. Для $f, g \in \mathcal{F}$ определим

Назовём две измеримые функции эквивалентными, если они равны почти всюду на $X$. Покажите, что $\rho$ индуцирует метрику на совокупности классов эквивалентности.

Для $0 < p < 1$ покажите, что

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — измеримое пространство и $0 < p < 1$. Для измеримых функций $g: X \rightarrow \mathbb {R}$ и $h: X \rightarrow \mathbb {R}$, у которых $p$-е степени интегрируемы, определим

Назовём две такие функции эквивалентными, если они равны почти всюду на $X$. Покажите, что $\rho_{p}(\cdot , \cdot )$ индуцирует метрику на совокупности классов эквивалентности.

Покажите, что неравенство треугольника для евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ следует из неравенства треугольника для $L^{2}[0,1]$.