Полные метрические пространства

В метрическом пространстве $X$ покажите

В метрическом пространстве $X$ покажите, что фундаментальная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она имеет сходящуюся подпоследовательность.

Определите понятие быстро фундаментальной последовательности в метрическом пространстве и покажите, что пространство полно тогда и только тогда, когда каждая быстро фундаментальная последовательность сходится.

Приведите пример убывающей счётной совокупности замкнутых непустых множеств вещественных чисел, пересечение которых пусто. Противоречит ли это теореме Кантора о пересечении?

Для отображения $f$ метрического пространства ($X, \rho$) в метрическое пространство ($Y, \sigma$) покажите, что $f$ равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда для любых двух последовательностей $\left\{ u_{n}\right\}$ и $\left\{ v_{n}\right\}$ из $X$

Для счётного декартова произведения метрических пространств, определённого в предложении 7, покажите, что произведение полно тогда и только тогда, когда полно каждое из пространств-сомножителей.

Предложение 7: Пусть $X = \prod_{n=1}^{\infty } X_{n}$ — декартово произведение счётной совокупности метрических пространств $\left\{ (X_{n}, \rho_{n})\right\}_{n=1}^{\infty }$. Для точек $u = \left\{ u_{n}\right\}$ и $v = \left\{ v_{n}\right\}$ из $X$ определим $\rho (u, v) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} \cdot \frac{\rho_{n}(u_{n}, v_{n})}{1 + \rho_{n}(u_{n}, v_{n})}$. Тогда $\rho$ — метрика на $X$, для которой сходимость последовательностей означает покомпонентную сходимость в каждом метрическом пространстве-сомножителе $(X_{n}, \rho_{n})$.

Для каждого индекса $n$ определим $f_{n}(x) = \alpha x^{n}+\beta \cos (x / n)$ при $0 \leq x \leq 1$. При каких значениях параметров $\alpha$ и $\beta$ последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ является фундаментальной последовательностью в метрическом пространстве $C[0,1]$?

Пусть $\mathcal{D}$ — подпространство $C[0,1]$, состоящее из непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, дифференцируемых на $(0,1)$. Полно ли $\mathcal{D}$?

Определим $\mathcal{L}$ как подпространство $C[0,1]$, состоящее из липшицевых функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$. Полно ли $\mathcal{L}$?

Для метрического пространства ($X, \rho$) завершите следующий план доказательства теоремы 12:

Теорема 12: Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство. Тогда существует полное метрическое пространство $(\widehat{X}, \widehat{\rho })$, для которого $X$ является плотным подмножеством $\widehat{X}$ и $\widehat{\rho }(u,v) = \rho (u,v)$ для всех $u, v \in X$. (Это пространство называется пополнением пространства $(X,\rho )$; оно единственно с точностью до изометрии, тождественной на $X$.)