Компактные метрические пространства

Рассмотрим метрическое пространство $\mathbb {Q}$, состоящее из рациональных чисел с метрикой, индуцированной абсолютной величиной. Какие подпространства $\mathbb {Q}$ полны, а какие компактны?

Пусть $B = B(x, r)$ — открытый шар в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что $B$ не компактен, для чего

Когда множество $X$ с дискретной метрикой является компактным метрическим пространством?

Докажите предложение 23.

Предложение 23: Если подпространство $K$ метрического пространства $X$ компактно, то $K$ является замкнутым ограниченным подмножеством $X$.

Докажите, что если $X$ компактно, то $K \subseteq X$ компактно тогда и только тогда, когда оно является замкнутым подмножеством $X$.

Для счётного декартова произведения метрических пространств, рассмотренного в предложении 7, покажите, что произведение компактно тогда и только тогда, когда каждое пространство-сомножитель компактно.

Предложение 7: Пусть $X = \prod_{n=1}^{\infty } X_{n}$ — декартово произведение счётного семейства метрических пространств $\left\{ (X_{n}, \rho_{n})\right\}_{n=1}^{\infty }$. Для точек $u = \left\{ u_{n}\right\}$ и $v = \left\{ v_{n}\right\}$ в $X$ определим $\rho (u, v) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} \cdot \frac{\rho_{n}(u_{n}, v_{n})}{1 + \rho_{n}(u_{n}, v_{n})}$. Тогда $\rho$ — метрика на $X$, для которой сходимость последовательностей есть покоординатная сходимость в каждом координатном метрическом пространстве $(X_{n}, \rho_{n})$.

Пусть $E$ — подмножество компактного метрического пространства $X$. Покажите, что метрическое подпространство $E$ компактно тогда и только тогда, когда $E$ является замкнутым подмножеством $X$.

Пусть $\left\{ F_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — убывающее счётное семейство непустых замкнутых подмножеств компактного метрического пространства $X$. Покажите, что $\bigcap_{n = 1}^{\infty } F_{n} \neq \emptyset$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ покажите, что $E$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда его замыкание $\bar{E}$ вполне ограничено.

Для подмножества $E$ полного метрического пространства $X$ покажите, что $E$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда его замыкание $\bar{E}$ компактно.

Пусть $B = \left\{ \left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}^{2} \leq 1\right\}$ — замкнутый единичный шар в $\ell^{2}$. Покажите, что $B$ не компактен, для чего

Пусть $B = \left\{ f \in L^{2}[a, b] \mid \left\| f\right\|_{2} \leq 1\right\}$ — замкнутый единичный шар в $L^{2}[a, b]$. Покажите, что $B$ не компактен, для чего

Пусть $X$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

Пусть $\rho$ — метрика на множестве $X$. Определим

Убедитесь, что $\tau$ — ограниченная метрика на $X$, и что сходимость последовательностей относительно метрики $\rho$ и метрики $\tau$ совпадает. Заключите, что множества, замкнутые относительно метрики $\rho$, замкнуты относительно метрики $\tau$, и что множества, открытые относительно метрики $\rho$, открыты относительно метрики $\tau$.

Пусть $E$ — подмножество евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$. Предположим, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на $E$ принимает минимальное значение. Обязательно ли $E$ замкнуто и ограничено?

Предположим, что $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$, обладающая тем свойством, что существует положительное число $c$ такое, что $\left|f(x)\right| \geq c \cdot \left\| x\right\|$ для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$. Покажите, что если $K$ — компактное множество вещественных чисел, то его прообраз при отображении $f$, $f^{-1}(K)$, также компактен. (Отображения с этим свойством называются собственными.)

Для компактного метрического пространства ($X, \rho$) покажите, что существуют точки $u, v \in X$, для которых $\rho (u, v) = \operatorname {diam} X$.

Пусть $K$ — компактное подмножество метрического пространства ($X, \rho$), а $x_{0}$ принадлежит $X$. Покажите, что существует точка $z \in K$, для которой

Пусть $K$ — компактное подмножество метрического пространства $X$. Для точки $x \in X \sim K$ покажите, что существует открытое множество $\mathcal{U}$, содержащее $K$, и открытое множество $\mathcal{O}$, содержащее $x$, для которых $\mathcal{U} \cap \mathcal{O} = \emptyset$.

Пусть $A$ и $B$ — подмножества метрического пространства ($X, \rho$). Определим

Если $A$ компактно, а $B$ замкнуто, покажите, что $A \cap B = \emptyset$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {dist}(A, B) > 0$.

Пусть $K$ — компактное подмножество метрического пространства $X$, а $\mathcal{O}$ — открытое множество, содержащее $K$. Используя предыдущую задачу, покажите, что существует открытое множество $\mathcal{U}$, для которого $K \subseteq \mathcal{U} \subseteq \overline{\mathcal{U}} \subseteq \mathcal{O}$.