Сепарабельные метрические пространства: теорема Улама о регулярности

Пусть $X$ — метрическое пространство, содержащее конечное плотное подмножество $D$. Покажите, что $X = D$.

Покажите, что если два непрерывных отображения, определённых на метрическом пространстве $X$, принимают одинаковые значения на плотном подмножестве, то они равны.

Докажите теорему Лузина для конечного борелевского пространства с мерой ($X, \mathcal{B}(X), \mu$), где $X$ — сепарабельное полное метрическое пространство.