Открытые множества, замкнутые множества и сходящиеся последовательности

Покажите, что следующие метрики индуцируют одни и те же сходящиеся последовательности в евклидовом пространстве:

Найдите метрику на $\mathbb {R}^{n}$, которая не индуцирует те же сходящиеся последовательности, что и метрика, индуцированная евклидовой нормой.

Покажите, что в метрическом пространстве открытый шар открыт.

В метрическом пространстве $X$ возможно ли, чтобы для $r > 0$ и двух различных точек $u$ и $v$ из $X$ выполнялось $B(u, r) = B(v, r)$? Возможно ли это в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$? Возможно ли это в нормированном линейном пространстве?

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, в котором $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ и $\left\{ v_{n}\right\} \rightarrow v$. Покажите, что $\left\{ \rho \left(u_{n}, v_{n}\right)\right\} \rightarrow \rho (u, v)$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $x$ принадлежит $X$ и $r > 0$.

Докажите предложение 2.

Предложение 2: Пусть $X$ — подпространство метрического пространства $Y$, а $E$ — подмножество $X$. Тогда $E$ открыто в $X$ тогда и только тогда, когда $E = X \cap O$, где $O$ открыто в $Y$.

Пусть $X$ — подпространство метрического пространства $Y$, а $A$ — подмножество $X$. Покажите, что $A$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда $A = X \cap F$, где $F$ замкнуто в $Y$.

Пусть $X$ — подпространство метрического пространства $Y$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ точка $x \in X$ называется внутренней точкой $E$, если существует открытый шар с центром в $x$, содержащийся в $E$: совокупность внутренних точек $E$ называется внутренностью $E$ и обозначается int $E$. Покажите, что int $E$ всегда открыто и что $E$ открыто тогда и только тогда, когда $E = \operatorname {int} E$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ точка $x \in X$ называется внешней точкой $E$, если существует открытый шар с центром в $x$, содержащийся в $X \sim E$: совокупность внешних точек $E$ называется внешностью $E$ и обозначается ext $E$. Покажите, что ext $E$ всегда открыто. Покажите, что $E$ замкнуто тогда и только тогда, когда $X \sim E = \operatorname {ext} E$.

Для подмножества $E$ метрического пространства $X$ точка $x \in X$ называется граничной точкой $E$, если каждый открытый шар с центром в $x$ содержит точки из $E$ и точки из $X \sim E$: совокупность граничных точек $E$ называется границей $E$ и обозначается bd $E$. Покажите

Пусть $A$ и $B$ — подмножества метрического пространства $X$. Покажите, что если $A \subseteq B$, то $\bar{A} \subseteq \bar{B}$. Также покажите, что $(\overline{A \cup B}) = \bar{A} \cup \bar{B}$ и $(\overline{A \cap B}) \subseteq \bar{A} \cap \bar{B}$.

Покажите, что для подмножества $E$ метрического пространства $X$ замыкание $E$ является пересечением всех замкнутых подмножеств $X$, содержащих $E$.

Пусть $\rho$ — метрика на множестве $X$. Определим

Проверьте, что $\tau$ — ограниченная метрика на $X$ и что сходимость последовательностей относительно метрики $\rho$ и метрики $\tau$ совпадает. Заключите, что множества, замкнутые относительно метрики $\rho$, замкнуты относительно метрики $\tau$, и что множества, открытые относительно метрики $\rho$, открыты относительно метрики $\tau$.