Непрерывные отображения между метрическими пространствами

Приведите пример непрерывного отображения, не являющегося равномерно непрерывным, и равномерно непрерывного отображения, не являющегося липшицевым.

Покажите, что каждое отображение метрического пространства ($X, \rho$) в метрическое пространство ($Y, \sigma$) непрерывно, если $\rho$ — дискретная метрика.

Предположим, что существует непрерывное взаимно однозначное отображение метрического пространства ($X, \rho$) в метрическое пространство ($Y, \sigma$), где $\sigma$ — дискретная метрика. Покажите, что каждое подмножество $X$ открыто.

Для метрического пространства ($X, \rho$) покажите, что метрика $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, где $X \times X$ наделено метрикой произведения.

Пусть $z$ — точка метрического пространства ($X, \rho$). Определим функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ равенством $f(x) = \rho (x, z)$. Покажите, что $f$ равномерно непрерывна.

Для непустого подмножества $E$ метрического пространства ($X, \rho$) и точки $x \in X$ определим расстояние от $x$ до $E$, $\operatorname {dist}_{E}(x)$, следующим образом:

Покажите, что подмножество $E$ метрического пространства $X$ открыто тогда и только тогда, когда существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $X$, для которой $E = \left\{ x \in X \mid f(x) > 0\right\}$.

Покажите, что подмножество $E$ метрического пространства $X$ замкнуто тогда и только тогда, когда существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $X$, для которой $E = f^{-1}(0)$.

Пусть $X = C[a, b]$. Определим функцию $\psi : X \rightarrow \mathbb {R}$ равенством

Покажите, что $\psi$ липшицева на метрическом пространстве $X$, где на $X$ задана метрика, индуцированная максимум-нормой.