Интегрирование на общих пространствах с мерой

Пусть $E \in \mathcal{M}$. Покажите, что функция $f: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ измерима тогда и только тогда, когда её сужения на $E$ и $X \sim E$ измеримы.

Предположим, что ($X, \mathcal{M}, \mu$) не полно. Покажите, что существуют функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: X \rightarrow \mathbb {R}$, для которых $f = g$ почти всюду, причём $f$ измерима, а $g$ — нет.

Предположим, что функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что $f^{-1}(E)$ измеримо, если $E \subseteq R$ — борелевское множество. Будет ли $f^{-1}(E)$ измеримо для каждого измеримого по Лебегу множества $E \subseteq R$?

Покажите, что функция $f: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ измерима, если для каждого рационального числа $c$ множество $\left\{ x \in X \mid f(x) < c\right\}$ измеримо.

Если $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима относительно $\sigma$-алгебры измеримых по Лебегу множеств, обязательно ли она измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры?

Пусть $\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций, такая что для каждого $n$ выполняется $\mu \left\{ x \in X \mid \left|f_{n}(x)-f_{n+1}(x)\right| > 1 / 2^{n}\right\} < 1 / 2^{n}$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится поточечно почти всюду на $X$.

В условиях теоремы Егорова покажите, что $X = \bigcup_{k = 0}^{\infty } X_{k}$, где каждое $X_{k}$ измеримо, $\mu \left(X_{0}\right) = 0$ и, при $k \geq 1$, $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно к $f$ на $X_{k}$.

Говорят, что последовательность $\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ измеримых функций сходится по мере к измеримой функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, если для каждого $\eta > 0$

Предположим, что $\mu (X) < \infty$. Покажите, что $\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\} \rightarrow f: X \rightarrow \mathbb {R}$ по мере тогда и только тогда, когда у каждой подпоследовательности последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ есть ещё одна подпоследовательность, которая сходится поточечно почти всюду на $X$ к $f$. Используйте это, чтобы показать, что для двух последовательностей, сходящихся по мере, последовательность произведений также сходится по мере к произведению пределов.

Пусть $\left\{ u_{n}: X \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций. Для $x \in X$ определим $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}(x)$. Покажите, что

Покажите, что если $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, то

Пусть $g: X \rightarrow [0, \infty ]$ интегрируема. Определим

Пусть $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ и $g: X \rightarrow [0, \infty ]$ — измеримые функции, для которых $f^{2}$ и $g^{2}$ интегрируемы. Покажите, что $f \cdot g$ также интегрируема.

Пусть $X$ — объединение счётной возрастающей последовательности измеримых множеств $\left\{ X_{n}\right\}$, а $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Покажите, что $f$ интегрируема на $X$ тогда и только тогда, когда существует $M \geq 0$, для которого $\int_{X_{n}} f d \mu \leq M$ при всех $n$.

Пусть $\eta$ — считающая мера на $2^{\mathrm{N}}$. Охарактеризуйте неотрицательные вещественнозначные функции (то есть последовательности), интегрируемые на $\mathbb {N}$ относительно $\eta$, и значение $\int_{\mathbb {N}} f d \eta$.

Пусть $x_{0} \in X$, а $\delta_{x_{0}}$ — мера Дирака, сосредоточенная в точке $x_{0}$. Охарактеризуйте неотрицательные вещественнозначные функции на $X$, интегрируемые на $X$ относительно $\delta_{x_{0}}$, и значение $\int_{X} f d \delta_{x_{0}}$.

Пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $\mathbb {N}$, а $\eta$ — считающая мера на $\mathcal{M}$. Пусть $\mathcal{F}$ — равномерно поточечно ограниченное семейство функций, интегрируемых на $\mathbb {N}$ относительно $\eta$

Покажите, что если функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема и $E \in \mathcal{M}$, то $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.

Предположим, что $\mu (X) = 0$ и функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ принимает постоянное значение $\infty$. Покажите, что $\int_{X} f d \mu = 0$.

Приведите пример функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, для которой $\left|f\right|: X \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, а $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ не интегрируема.

Пусть функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ финитно носима, ограничена и измерима. Покажите, что

где $\psi$ и $\varphi$ пробегают все простые функции на $X$, для которых $\psi \leq f \leq \varphi$ на $X$.

Предположим, что ($X, \mathcal{M},, \mu$) полно, функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ финитно носима и ограничена, и

где $\psi$ и $\varphi$ пробегают все простые функции на $X$, для которых $\psi \leq f \leq \varphi$ на $X$. Докажите, что $f$ измерима.

Предположим, что ($X, \mathcal{M}, \mu$) обладает тем свойством, что для каждого $\epsilon > 0$ $X$ является объединением конечного семейства измеримых множеств, каждое из которых имеет меру не более $\epsilon$. Пусть последовательность $\left\{ f_{n}: X \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ равномерно интегрируема и сходится поточечно на $X$ к $f: X \rightarrow [0, \infty ]$. Покажите, что функция $f$ интегрируема.

На множестве $X$ рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathcal{M} = \left\{ \emptyset , X\right\}$ и определим $\mu (\emptyset ) = 0, \mu (X) = 1$. Покажите, что каждое семейство интегрируемых функций на $X$ равномерно интегрируемо и плотно (tight). Найдите последовательность простых функций, сходящуюся поточечно к неинтегрируемой функции.

Докажите следствие 15.

Следствие 15: Пусть $\left\{ f_{n}: X \rightarrow [0, \infty )\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций. Предположим, что $\left\{ f_{n}(x)\right\} \rightarrow 0$ для всех $x \in X$. Тогда $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{X} f_{n} \, d\mu = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема и плотна.

Выведите теорему о мажорируемой сходимости из теоремы Витали о сходимости.

Покажите, что семейство $\mathcal{F}$ интегрируемых функций на $X$ равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что для любого $E \in \mathcal{M}$ и любой $f \in \mathcal{F}$,

Пусть $\eta$ — ещё одна мера на $\mathcal{M}$. Предположим, что функция $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Верно ли, что

Пусть $\mathcal{M}_{0}$ — $\sigma$-алгебра, содержащаяся в $\mathcal{M}$, $\mu_{0}$ — сужение $\mu$ на $\mathcal{M}_{0}$, а функция $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима относительно $\mathcal{M}_{0}$. Покажите, что $f$ измерима относительно $\mathcal{M}$ и

Приведите пример, для которого это неравенство строгое.

Пусть $\nu$ — знакопеременная мера на $\sigma$-алгебре подмножеств $X$, имеющая разложение Жордана $\nu = \nu^{+}-\nu^{-}$. Для $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ определим

при условии, что $f$ интегрируема на $X$ относительно как $\nu^{+}$, так и $\nu^{-}$. Покажите, что если $\left|f\right| \leq M$ на $X$, то

Более того, если $\left|\nu \right|(X) < \infty$, покажите, что существует измеримая функция $f$ с $\left|f\right| \leq 1$ на $X$, для которой

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию. Покажите, что существует абсолютно непрерывная функция $g$ на $[a, b]$ и функция $h$ на $[a, b]$, имеющая ограниченную вариацию и $h^{\prime } = 0$ почти всюду на $[a, b]$, для которых $f = g+h$ на $[a, b]$. Затем покажите, что это разложение единственно с точностью до прибавления констант.

Для пространства с мерой Лебега ($\mathbb {R}, \mathcal{M}, m$) пусть $\nu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ — мера, и определим $h:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, $h(x) = \nu ([a, x])$ для всех $x \in [a, b]$. Покажите, что функция $h$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда мера $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $m$.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность мер на $\mathcal{M}$, для которой существует $c > 0$ такое, что $\mu_{n}(X) \leq c$ для всех $n$. Определим $\mu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty ]$ формулой

Покажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{M}$ и каждая $\mu_{n}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.

Охарактеризуйте пространства с мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$), для которых считающая мера на $\mathcal{M}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$, а также те, для которых, при заданном $x_{0} \in X$, мера Дирака $\delta_{x_{0}}$ на $\mathcal{M}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.

Пусть $X = [0,1]$, $\mathcal{M}$ — семейство измеримых по Лебегу подмножеств $[0,1]$, $m$ — мера Лебега, а $c$ — считающая мера на $\mathcal{M}$. Покажите, что $m$ абсолютно непрерывна относительно $c$, но не существует функции $f: X \rightarrow [0, \infty ]$, интегрируемой на $[0,1]$ относительно $c$, для которой $m(E) = \int_{E} f d c$ для всех $E \in \mathcal{M}$.

Пусть $f: X \rightarrow [0, \infty )$ интегрируема. Найдите разложение Лебега относительно $\mu$ меры $\nu$, определённой формулой $\nu (E) = \int_{E} f d \mu$ для $E \in \mathcal{M}$.

Пусть $\mu , \nu$ и $\lambda$ — $\sigma$-конечные меры на $\mathcal{M}$.

Пусть $\mu , \nu_{1}$ и $\nu_{2}$ — меры на $\mathcal{M}$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на $\mathcal{M}$, определим $\lambda = \mu +\nu$, и пусть $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Покажите, что $f$ интегрируема относительно $\lambda$ тогда и только тогда, когда она интегрируема относительно как $\mu$, так и $\nu$. Также покажите, что если $f$ интегрируема относительно $\lambda$, то

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu ) = (Y, \mathcal{B}, \nu ) = \left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}, c\right)$. Покажите, что мера произведения является считающей мерой. Сформулируйте явно теоремы Фубини и Тонелли для этого случая.

Покажите, что наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все произведения измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb {R}$, есть борелевская $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$.

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu )$ и $(Y, \mathcal{B}, \nu )$ полны, $h: X \rightarrow [0, \infty ]$ и $g: Y \rightarrow [0, \infty ]$ неотрицательны и интегрируемы, и определим $k(x, y) = h(x) \cdot g(y)$. Покажите, что $k$ является $(\mu \times \nu )$-интегрируемой и

Определим $f: \mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая

Покажите, что $f$ измерима относительно произведения мер. Также покажите, что

Противоречит ли это теореме Фубини или теореме Тонелли?

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu )$ — полное пространство с мерой. Рассмотрим $\mathbb {N} \times X$ с произведением мер $c \times \mu$.

Докажите, что заключение теоремы Тонелли остаётся верным, если одно из пространств есть пространство ($\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}, c$), а другое — полное пространство с мерой, которое не обязано быть $\sigma$-конечным.

Если $\left\{ \left(X_{k}, \mathcal{A}_{k}, \mu_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{n}$ — конечный набор пространств с мерой, определим произведение мер $\mu_{1} \times \cdots \times \mu_{n}$ на пространстве $X_{1} \times \cdots \times X_{n}$, начиная с полукольца прямоугольников вида $R = A_{1} \times \cdots \times A_{n}$, полагая $\mu (R) = \prod \mu_{k}\left(A_{k}\right)$, покажите, что $\mu$ является предмерой, и определим произведение мер как продолжение Каратеодори меры $\mu$. Покажите, что если $\left(X_{1} \times \cdots \times X_{p}\right) \times \left(X_{p+1} \times \cdots \times X_{n}\right)$ отождествляется с ($X_{1} \times \cdots \times X_{n}$), то

Пространство с мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$), такое что $\mu (X) = 1$, называется вероятностным пространством с мерой. Пусть $\left\{ \left(X_{\lambda }, \mathcal{A}_{\lambda }, \mu_{\lambda }\right)\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — набор вероятностных пространств с мерой, параметризованный множеством $\Lambda$. Покажите, что можно определить вероятностную меру

на подходящей $\sigma$-алгебре на декартовом произведении $\prod_{\lambda \in \Lambda } X_{\lambda }$ так, что

когда $A = \prod_{\lambda \in \Lambda } A_{\lambda }$. (Заметьте, что $\mu (A)$ может быть отлично от нуля, только если для всех, кроме счётного числа, $A_{\lambda }$ выполнено $\mu \left(A_{\lambda }\right) = 1$.)

Всякая ли непрерывная вещественнозначная функция $k: \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима относительно произведения мер? Покажите, что для любого подмножества $A$ пространства $\mathbb {R}$ множество $A \times Q$ измеримо относительно произведения мер, независимо от измеримости $A$.

Предположим, что функция $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, покажите, что она измерима по Лебегу относительно $\mu_{2}$.

Если $f: \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ измеримы по Лебегу, покажите, что функция $(x, y) \mapsto f(x) \cdot g(y)$ измерима по Лебегу на $\mathbb {R}^{m+k}$.

Проверьте, что

проверив, что при $(x, y) \neq (0,0)$

Объясните, почему этот пример не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

Покажите, что

Объясните, почему это не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

Определим $f(x, y) = y \exp \left(-\left(1+x^{2}\right) y^{2}\right)$ при $x \geq 0, y \geq 0$. Покажите, что

и заключите отсюда, что

Определим $f(x, y) = \exp \left(-x y^{2}\right) \cdot \sin x$ при $x \geq 0, y \geq 0$. Покажите, что для каждого $b > 0$

и заключите отсюда, что, как несобственный интеграл Римана,

Предположим, что $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow [0, \infty )$ финитна и интегрируема по Лебегу, а $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ возрастающая, ограниченная, абсолютно непрерывная функция, причём $g(0) = 0$. Покажите, что $g \circ f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Лебегу и что

Покажите, что произведение полуколец является полукольцом. Используйте это, чтобы показать, что совокупность ограниченных промежутков в $\mathbb {R}^{n}$ является полукольцом.

Пусть отображение $\mathcal{N}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ взаимно однозначно и на и существует такое $c > 0$, что

Покажите, что если $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима по Лебегу, то и $f \circ \mathcal{N}$ измерима.