11.1

Измеримые функции: теоремы Егорова и Лузина, аппроксимация последовательностями

[10/0%]
Показать
LaTeX
Задача 11.1

Пусть E∈ME \in \mathcal{M}. Покажите, что функция f:X→R‾f: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}} измерима тогда и только тогда, когда её сужения на EE и X∼EX \sim E измеримы.

?
Задача 11.2

Предположим, что (X,M,μX, \mathcal{M}, \mu) не полно. Покажите, что существуют функции f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R} и g:X→Rg: X \rightarrow \mathbb {R}, для которых f=gf = g почти всюду, причём ff измерима, а gg — нет.

?
Задача 11.3

Предположим, что функция f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R} измерима. Покажите, что f−1(E)f^{-1}(E) измеримо, если E⊆RE \subseteq R — борелевское множество. Будет ли f−1(E)f^{-1}(E) измеримо для каждого измеримого по Лебегу множества E⊆RE \subseteq R?

?
Задача 11.4

Покажите, что функция f:X→R‾f: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}} измерима, если для каждого рационального числа cc множество {x∈X∣f(x)<c}\left\{ x \in X \mid f(x) < c\right\} измеримо.

?
Задача 11.5
?
(i)

Покажите, что каждая функция f:X→R‾f: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}} измерима относительно σ\sigma-алгебры M=2X\mathcal{M} = 2^{X}.

(ii)

Пусть x0∈Xx_{0} \in X, а δx0\delta_{x_{0}} — мера Дирака в точке x0x_{0} на 2X2^{X}. Покажите, что две функции на XX равны почти всюду [δx0]\left[\delta_{x_{0}}\right] тогда и только тогда, когда они принимают одно и то же значение в точке x0x_{0}.

(iii)

Пусть cc — считающая мера на 2X2^{X}. Покажите, что две функции на XX равны почти всюду [c][c] тогда и только тогда, когда они принимают одно и то же значение в каждой точке XX.

Задача 11.6

Если f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} измерима относительно σ\sigma-алгебры измеримых по Лебегу множеств, обязательно ли она измерима относительно борелевской σ\sigma-алгебры?

?
Задача 11.7

Пусть {fn:X→R}\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\} — последовательность измеримых функций, такая что для каждого nn выполняется μ{x∈X∣∣fn(x)−fn+1(x)∣>1/2n}<1/2n\mu \left\{ x \in X \mid \left|f_{n}(x)-f_{n+1}(x)\right| > 1 / 2^{n}\right\} < 1 / 2^{n}. Покажите, что {fn}\left\{ f_{n}\right\} сходится поточечно почти всюду на XX.

?
Задача 11.8

В условиях теоремы Егорова покажите, что X=⋃k=0∞XkX = \bigcup_{k = 0}^{\infty } X_{k}, где каждое XkX_{k} измеримо, μ(X0)=0\mu \left(X_{0}\right) = 0 и, при k≥1k \geq 1, {fn}\left\{ f_{n}\right\} сходится равномерно к ff на XkX_{k}.

?
Задача 11.9

Говорят, что последовательность {fn:X→R}\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\} измеримых функций сходится по мере к измеримой функции f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R}, если для каждого η>0\eta > 0

lim⁡n→∞μ{x∈X∣∣fn(x)−f(x)∣>η}=0. \lim _{n \rightarrow \infty } \mu \left\{ x \in X \mid \left|f_{n}(x)-f(x)\right| > \eta \right\} = 0.
?
(i)

Покажите, что если μ(X)<∞\mu (X) < \infty и {fn:X→R}\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\} сходится поточечно почти всюду на XX к измеримой функции f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R}, то {fn}\left\{ f_{n}\right\} сходится к ff по мере.

(ii)

Покажите, что если {fn:X→R}\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\} сходится к f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R} по мере, то существует подпоследовательность последовательности {fn}\left\{ f_{n}\right\}, которая сходится поточечно почти всюду на XX к ff.

Задача 11.10

Предположим, что μ(X)<∞\mu (X) < \infty. Покажите, что {fn:X→R}→f:X→R\left\{ f_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}\right\} \rightarrow f: X \rightarrow \mathbb {R} по мере тогда и только тогда, когда у каждой подпоследовательности последовательности {fn}\left\{ f_{n}\right\} есть ещё одна подпоследовательность, которая сходится поточечно почти всюду на XX к ff. Используйте это, чтобы показать, что для двух последовательностей, сходящихся по мере, последовательность произведений также сходится по мере к произведению пределов.

?