Интегрирование общих измеримых функций: теорема о мажорируемой сходимости и теорема Витали о сходимости

Пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $\mathbb {N}$, а $\eta$ — считающая мера на $\mathcal{M}$. Пусть $\mathcal{F}$ — равномерно поточечно ограниченное семейство функций, интегрируемых на $\mathbb {N}$ относительно $\eta$

Покажите, что если функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема и $E \in \mathcal{M}$, то $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.

Предположим, что $\mu (X) = 0$ и функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ принимает постоянное значение $\infty$. Покажите, что $\int_{X} f d \mu = 0$.

Приведите пример функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, для которой $\left|f\right|: X \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, а $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ не интегрируема.

Пусть функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ финитно носима, ограничена и измерима. Покажите, что

где $\psi$ и $\varphi$ пробегают все простые функции на $X$, для которых $\psi \leq f \leq \varphi$ на $X$.

Предположим, что ($X, \mathcal{M},, \mu$) полно, функция $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ финитно носима и ограничена, и

где $\psi$ и $\varphi$ пробегают все простые функции на $X$, для которых $\psi \leq f \leq \varphi$ на $X$. Докажите, что $f$ измерима.

Предположим, что ($X, \mathcal{M}, \mu$) обладает тем свойством, что для каждого $\epsilon > 0$ $X$ является объединением конечного семейства измеримых множеств, каждое из которых имеет меру не более $\epsilon$. Пусть последовательность $\left\{ f_{n}: X \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ равномерно интегрируема и сходится поточечно на $X$ к $f: X \rightarrow [0, \infty ]$. Покажите, что функция $f$ интегрируема.

На множестве $X$ рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathcal{M} = \left\{ \emptyset , X\right\}$ и определим $\mu (\emptyset ) = 0, \mu (X) = 1$. Покажите, что каждое семейство интегрируемых функций на $X$ равномерно интегрируемо и плотно (tight). Найдите последовательность простых функций, сходящуюся поточечно к неинтегрируемой функции.

Докажите следствие 15.

Следствие 15: Пусть $\left\{ f_{n}: X \rightarrow [0, \infty )\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций. Предположим, что $\left\{ f_{n}(x)\right\} \rightarrow 0$ для всех $x \in X$. Тогда $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{X} f_{n} \, d\mu = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема и плотна.

Выведите теорему о мажорируемой сходимости из теоремы Витали о сходимости.

Покажите, что семейство $\mathcal{F}$ интегрируемых функций на $X$ равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что для любого $E \in \mathcal{M}$ и любой $f \in \mathcal{F}$,

Пусть $\eta$ — ещё одна мера на $\mathcal{M}$. Предположим, что функция $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Верно ли, что

Пусть $\mathcal{M}_{0}$ — $\sigma$-алгебра, содержащаяся в $\mathcal{M}$, $\mu_{0}$ — сужение $\mu$ на $\mathcal{M}_{0}$, а функция $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима относительно $\mathcal{M}_{0}$. Покажите, что $f$ измерима относительно $\mathcal{M}$ и

Приведите пример, для которого это неравенство строгое.

Пусть $\nu$ — знакопеременная мера на $\sigma$-алгебре подмножеств $X$, имеющая разложение Жордана $\nu = \nu^{+}-\nu^{-}$. Для $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ определим

при условии, что $f$ интегрируема на $X$ относительно как $\nu^{+}$, так и $\nu^{-}$. Покажите, что если $\left|f\right| \leq M$ на $X$, то

Более того, если $\left|\nu \right|(X) < \infty$, покажите, что существует измеримая функция $f$ с $\left|f\right| \leq 1$ на $X$, для которой