Банк задач по математике

Задача 11.49

Всякая ли непрерывная вещественнозначная функция $k: \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима относительно произведения мер? Покажите, что для любого подмножества $A$ пространства $\mathbb {R}$ множество $A \times Q$ измеримо относительно произведения мер, независимо от измеримости $A$ .

?

Задача 11.50

Предположим, что функция $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, покажите, что она измерима по Лебегу относительно $\mu_{2}$ .

?

Задача 11.51

Если $f: \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ измеримы по Лебегу, покажите, что функция $(x, y) \mapsto f(x) \cdot g(y)$ измерима по Лебегу на $\mathbb {R}^{m+k}$ .

?

Задача 11.52

Проверьте, что

\int _{-1}^{1}\left[\int _{-1}^{1} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x\right] d y = -\frac{\pi }{4} \text{ и } \int _{-1}^{1}\left[\int _{-1}^{1} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d y\right] d x = \frac{\pi }{4}

проверив, что при $(x, y) \neq (0,0)$

\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right] = \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} = \frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right]

Объясните, почему этот пример не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

?

Задача 11.53

Покажите, что

\int _{-1}^{1}\left[\int _{-1}^{1} \frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x\right] d y \neq \int _{-1}^{1}\left[\int _{-1}^{1} \frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d y\right] d x

Объясните, почему это не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

?

Задача 11.54

Определим $f(x, y) = y \exp \left(-\left(1+x^{2}\right) y^{2}\right)$ при $x \geq 0, y \geq 0$ . Покажите, что

\int _{0}^{\infty }\left[\int _{0}^{\infty } f(x, y) d y\right] d x = \int _{0}^{\infty }\left[\int _{0}^{\infty } f(x, y) d x\right] d y

и заключите отсюда, что

\int _{0}^{\infty } \exp \left(-x^{2}\right) d x = \sqrt{\pi } / 2

?

Задача 11.55

Определим $f(x, y) = \exp \left(-x y^{2}\right) \cdot \sin x$ при $x \geq 0, y \geq 0$ . Покажите, что для каждого $b > 0$

\int _{0}^{b}\left[\int _{0}^{\infty } f(x, y) d y\right] d x = \int _{0}^{\infty }\left[\int _{0}^{b} f(x, y) d x\right] d y

и заключите отсюда, что, как несобственный интеграл Римана,

\int _{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x^{1 / 2}} d x \equiv \lim _{b \rightarrow \infty } \int _{0}^{b} \frac{\sin x}{x^{1 / 2}} d x = \sqrt{\pi / 2}

?

Задача 11.56

Предположим, что $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow [0, \infty )$ финитна и интегрируема по Лебегу, а $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ возрастающая, ограниченная, абсолютно непрерывная функция, причём $g(0) = 0$ . Покажите, что $g \circ f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Лебегу и что

\int _{\mathbb {R}^{n}} g(f(x)) d \mu _{n}(x) = \int _{0}^{\infty }\left[\mu _{n}\left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid 0 \leq t \leq f(x)\right\} \cdot g^{\prime }(t)\right] d t

?

Задача 11.57

Покажите, что произведение полуколец является полукольцом. Используйте это, чтобы показать, что совокупность ограниченных промежутков в $\mathbb {R}^{n}$ является полукольцом.

?

Задача 11.58

Пусть отображение $\mathcal{N}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ взаимно однозначно и на и существует такое $c > 0$ , что

\left\| \mathcal{N}(x)-\mathcal{N}(y)\right\| \geq c \cdot \left\| x-y\right\| \forall x, y \in \mathbb {R}^{n}

Покажите, что если $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима по Лебегу, то и $f \circ \mathcal{N}$ измерима.

?

Произведения меры Лебега на евклидовых пространствах: принцип Кавальери