11.5

Произведения мер: теоремы Тонелли и Фубини

[8/0%]
LaTeX
Задача 11.41

Пусть (X,A,μ)=(Y,B,ν)=(N,2N,c)(X, \mathcal{A}, \mu ) = (Y, \mathcal{B}, \nu ) = \left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}, c\right). Покажите, что мера произведения является считающей мерой. Сформулируйте явно теоремы Фубини и Тонелли для этого случая.

?
Задача 11.42

Покажите, что наименьшая σ\sigma-алгебра, содержащая все произведения измеримых по Лебегу подмножеств R\mathbb {R}, есть борелевская σ\sigma-алгебра B(R2)\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right).

?
Задача 11.43

Пусть (X,A,μ)(X, \mathcal{A}, \mu ) и (Y,B,ν)(Y, \mathcal{B}, \nu ) полны, h:X→[0,∞]h: X \rightarrow [0, \infty ] и g:Y→[0,∞]g: Y \rightarrow [0, \infty ] неотрицательны и интегрируемы, и определим k(x,y)=h(x)⋅g(y)k(x, y) = h(x) \cdot g(y). Покажите, что kk является (μ×ν)(\mu \times \nu )-интегрируемой и

∫X×Ykd(μ×ν)=∫Xhdμ⋅∫Ygdν \int _{X \times Y} k d(\mu \times \nu ) = \int _{X} h d \mu \cdot \int _{Y} g d \nu
?
Задача 11.44

Определим f:N×N→Rf: \mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}, полагая

f(m,n)={2−2−mесли m=n−2+2−mесли m=n+10в остальных случаях f(m, n) = \begin{cases} 2-2^{-m} & \text{если } m = n \\ -2+2^{-m} & \text{если } m = n+1 \\ 0 & \text{в остальных случаях} \end{cases}

Покажите, что ff измерима относительно произведения мер. Также покажите, что

∫N[∫Nf(m,n)dc(m)]dc(n)≠∫N[∫Nf(m,n)dc(n)]dc(m) \int _{\mathbb {N}}\left[\int _{\mathbb {N}} f(m, n) d c(m)\right] d c(n) \neq \int _{\mathbb {N}}\left[\int _{\mathbb {N}} f(m, n) d c(n)\right] d c(m)

Противоречит ли это теореме Фубини или теореме Тонелли?

?
Задача 11.45

Пусть (X,A,μ)(X, \mathcal{A}, \mu ) — полное пространство с мерой. Рассмотрим N×X\mathbb {N} \times X с произведением мер c×μc \times \mu.

?
(i)

Покажите, что подмножество EE пространства N×X\mathbb {N} \times X измеримо относительно произведения мер тогда и только тогда, когда для каждого kk множество Ek={x∈X∣(k,x)∈E}E_{k} = \left\{ x \in X \mid (k, x) \in E\right\} измеримо относительно μ\mu.

(ii)

Покажите, что функция f:N×X→Rf: \mathbb {N} \times X \rightarrow \mathbb {R} измерима относительно произведения мер тогда и только тогда, когда для каждого kk функция f(k,⋅):X→Rf(k, \cdot ): X \rightarrow \mathbb {R} измерима относительно μ\mu.

(iii)

Покажите, что функция f:N×X→Rf: \mathbb {N} \times X \rightarrow \mathbb {R} интегрируема на N×X\mathbb {N} \times X относительно c×μc \times \mu тогда и только тогда, когда для каждого kk функция f(k,⋅):X→Rf(k, \cdot ): X \rightarrow \mathbb {R} интегрируема на XX относительно μ\mu и

∑k=1∞∫X∣f(k,x)∣dμ(x)<∞ \sum _{k = 1}^{\infty } \int _{X}\left|f(k, x)\right| d \mu (x) < \infty
(iv)

Покажите, что если функция f:N×X→Rf: \mathbb {N} \times X \rightarrow \mathbb {R} интегрируема на N×X\mathbb {N} \times X относительно c×μc \times \mu, то

∫N×Xfd(c×μ)=∑k=1∞∫Xf(k,x)dμ(x)<∞ \int _{\mathbb {N} \times X} f d(c \times \mu ) = \sum _{k = 1}^{\infty } \int _{X} f(k, x) d \mu (x) < \infty
Задача 11.46

Докажите, что заключение теоремы Тонелли остаётся верным, если одно из пространств есть пространство (N,2N,c\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}, c), а другое — полное пространство с мерой, которое не обязано быть σ\sigma-конечным.

?
Задача 11.47

Если {(Xk,Ak,μk)}k=1n\left\{ \left(X_{k}, \mathcal{A}_{k}, \mu_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{n} — конечный набор пространств с мерой, определим произведение мер μ1×⋯×μn\mu_{1} \times \cdots \times \mu_{n} на пространстве X1×⋯×XnX_{1} \times \cdots \times X_{n}, начиная с полукольца прямоугольников вида R=A1×⋯×AnR = A_{1} \times \cdots \times A_{n}, полагая μ(R)=∏μk(Ak)\mu (R) = \prod \mu_{k}\left(A_{k}\right), покажите, что μ\mu является предмерой, и определим произведение мер как продолжение Каратеодори меры μ\mu. Покажите, что если (X1×⋯×Xp)×(Xp+1×⋯×Xn)\left(X_{1} \times \cdots \times X_{p}\right) \times \left(X_{p+1} \times \cdots \times X_{n}\right) отождествляется с (X1×⋯×XnX_{1} \times \cdots \times X_{n}), то

(μ1×⋯×μp)×(μp+1×⋯×μn)=μ1×⋯×μn. \left(\mu _{1} \times \cdots \times \mu _{p}\right) \times \left(\mu _{p+1} \times \cdots \times \mu _{n}\right) = \mu _{1} \times \cdots \times \mu _{n} .
?
Задача 11.48

Пространство с мерой (X,M,μX, \mathcal{M}, \mu), такое что μ(X)=1\mu (X) = 1, называется вероятностным пространством с мерой. Пусть {(Xλ,Aλ,μλ)}λ∈Λ\left\{ \left(X_{\lambda }, \mathcal{A}_{\lambda }, \mu_{\lambda }\right)\right\}_{\lambda \in \Lambda } — набор вероятностных пространств с мерой, параметризованный множеством Λ\Lambda. Покажите, что можно определить вероятностную меру

μ=∏λ∈Λμλ \mu = \prod _{\lambda \in \Lambda } \mu _{\lambda }

на подходящей σ\sigma-алгебре на декартовом произведении ∏λ∈ΛXλ\prod_{\lambda \in \Lambda } X_{\lambda } так, что

μ(A)=∏λ∈Λμλ(Aλ) \mu (A) = \prod _{\lambda \in \Lambda } \mu _{\lambda }\left(A_{\lambda }\right)

когда A=∏λ∈ΛAλA = \prod_{\lambda \in \Lambda } A_{\lambda }. (Заметьте, что μ(A)\mu (A) может быть отлично от нуля, только если для всех, кроме счётного числа, AλA_{\lambda } выполнено μ(Aλ)=1\mu \left(A_{\lambda }\right) = 1.)

?