Банк задач по математике

Задача 11.32

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию. Покажите, что существует абсолютно непрерывная функция $g$ на $[a, b]$ и функция $h$ на $[a, b]$ , имеющая ограниченную вариацию и $h^{\prime } = 0$ почти всюду на $[a, b]$ , для которых $f = g+h$ на $[a, b]$ . Затем покажите, что это разложение единственно с точностью до прибавления констант.

?

Задача 11.33

Для пространства с мерой Лебега ( $\mathbb {R}, \mathcal{M}, m$ ) пусть $\nu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ — мера, и определим $h:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ , $h(x) = \nu ([a, x])$ для всех $x \in [a, b]$ . Покажите, что функция $h$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда мера $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $m$ .

?

Задача 11.34

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность мер на $\mathcal{M}$ , для которой существует $c > 0$ такое, что $\mu_{n}(X) \leq c$ для всех $n$ . Определим $\mu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty ]$ формулой

\mu = \sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\mu _{n}}{2^{n}}

Покажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{M}$ и каждая $\mu_{n}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ .

?

Задача 11.35

Охарактеризуйте пространства с мерой ( $X, \mathcal{M}, \mu$ ), для которых считающая мера на $\mathcal{M}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ , а также те, для которых, при заданном $x_{0} \in X$ , мера Дирака $\delta_{x_{0}}$ на $\mathcal{M}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ .

?

Задача 11.36

Пусть $X = [0,1]$ , $\mathcal{M}$ — семейство измеримых по Лебегу подмножеств $[0,1]$ , $m$ — мера Лебега, а $c$ — считающая мера на $\mathcal{M}$ . Покажите, что $m$ абсолютно непрерывна относительно $c$ , но не существует функции $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ , интегрируемой на $[0,1]$ относительно $c$ , для которой $m(E) = \int_{E} f d c$ для всех $E \in \mathcal{M}$ .

?

Задача 11.37

Пусть $f: X \rightarrow [0, \infty )$ интегрируема. Найдите разложение Лебега относительно $\mu$ меры $\nu$ , определённой формулой $\nu (E) = \int_{E} f d \mu$ для $E \in \mathcal{M}$ .

?

Задача 11.38

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $\mu , \nu$ и $\lambda$ — $\sigma$ -конечные меры на $\mathcal{M}$ .

?

(i)

Если $\nu \ll \mu$ (то есть $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ ) и $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, покажите, что

\int _{X} f d \nu = \int _{X} f\left[\frac{d \nu }{d \mu }\right] d \mu

(ii)

Если $\nu \ll \mu$ и $\lambda \ll \mu$ , покажите, что

\frac{d(\nu +\lambda )}{d \mu } = \frac{d \nu }{d \mu }+\frac{d \lambda }{d \mu } \text{ почти всюду }[\mu ]

(iii)

Если $\nu \ll \mu \ll \lambda$ , покажите, что

\frac{d \nu }{d \lambda } = \frac{d \nu }{d \mu } \cdot \frac{d \mu }{d \lambda } \text{ почти всюду }[\lambda ]

(iv)

Если $\nu \ll \mu$ и $\mu \ll \nu$ , покажите, что

\frac{d \nu }{d \mu } \cdot \frac{d \mu }{d \nu } = 1 \text{ почти всюду }[\mu ]

Задача 11.39

(i)(ii)(iii)

Пусть $\mu , \nu_{1}$ и $\nu_{2}$ — меры на $\mathcal{M}$ .

?

(i)

Покажите, что если $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ сингулярны относительно $\mu$ , то для любых $\alpha \geq 0, \beta \geq 0$ мера $\alpha \nu_{1}+\beta \nu_{2}$ также сингулярна относительно $\mu$ .

(ii)

Покажите, что если $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ абсолютно непрерывны относительно $\mu$ , то для любых $\alpha \geq 0, \beta \geq 0$ мера $\alpha \nu_{1}+\beta \nu_{2}$ также абсолютно непрерывна относительно $\mu$ .

(iii)

Докажите утверждение о единственности разложения Лебега.

Задача 11.40

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на $\mathcal{M}$ , определим $\lambda = \mu +\nu$ , и пусть $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Покажите, что $f$ интегрируема относительно $\lambda$ тогда и только тогда, когда она интегрируема относительно как $\mu$ , так и $\nu$ . Также покажите, что если $f$ интегрируема относительно $\lambda$ , то

\int _{E} g d \lambda = \int _{E} g d \mu +\int _{E} g d \nu \text{ для всех } E \in \mathcal{M} \text{. }

?

Теорема Радона-Никодима