Интегрирование неотрицательных измеримых функций: лемма Фату, теорема о монотонной сходимости и теорема Беппо Леви

Пусть $\left\{ u_{n}: X \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций. Для $x \in X$ определим $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}(x)$. Покажите, что

Покажите, что если $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, то

Пусть $g: X \rightarrow [0, \infty ]$ интегрируема. Определим

Пусть $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ и $g: X \rightarrow [0, \infty ]$ — измеримые функции, для которых $f^{2}$ и $g^{2}$ интегрируемы. Покажите, что $f \cdot g$ также интегрируема.

Пусть $X$ — объединение счётной возрастающей последовательности измеримых множеств $\left\{ X_{n}\right\}$, а $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Покажите, что $f$ интегрируема на $X$ тогда и только тогда, когда существует $M \geq 0$, для которого $\int_{X_{n}} f d \mu \leq M$ при всех $n$.

Пусть $\eta$ — считающая мера на $2^{\mathrm{N}}$. Охарактеризуйте неотрицательные вещественнозначные функции (то есть последовательности), интегрируемые на $\mathbb {N}$ относительно $\eta$, и значение $\int_{\mathbb {N}} f d \eta$.

Пусть $x_{0} \in X$, а $\delta_{x_{0}}$ — мера Дирака, сосредоточенная в точке $x_{0}$. Охарактеризуйте неотрицательные вещественнозначные функции на $X$, интегрируемые на $X$ относительно $\delta_{x_{0}}$, и значение $\int_{X} f d \delta_{x_{0}}$.