Дифференцирование и интегрирование

Покажите, что существует строго возрастающая функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, непрерывная только в иррациональных точках $[0,1]$.

Проверьте утверждение из доказательства теоремы о том, что достаточно рассматривать лишь случай, когда $I$ замкнут и ограничен.

Пусть $E$ — произвольное подмножество $\mathbb {R}$, а $C$ — счётное подмножество $E$. Существует ли монотонная функция на $E$, непрерывная только в точках множества $E \sim C$?

Покажите, что лемма Витали о покрытии не распространяется на случай, когда покрывающее семейство содержит вырожденные замкнутые интервалы.

Покажите, что лемма Витали о покрытии распространяется на случай, когда покрывающее семейство состоит из невырожденных общих интервалов.

Является ли всякая непрерывная функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ разностью монотонных функций?

Пусть $I$ и $J$ — замкнутые ограниченные интервалы, а $\gamma > 0$ таково, что $\ell (I) > \gamma \cdot \ell (J)$. Предположим, что $I \cap J \neq \emptyset$. Покажите, что если $\gamma \geq 1 / 2$, то $J \subseteq 3 * I$. Верно ли то же самое, если $0 < \gamma < 1 / 2$?

Покажите, что $m(E) = 0$ тогда и только тогда, когда существует счётное семейство открытых интервалов $\left\{ I_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$, такое что каждая точка $E$ принадлежит бесконечно многим $I_{k}$, и $\Sigma_{k = 1}^{\infty } \ell \left(I_{k}\right) < \infty$.

Пусть $E$ — множество меры нуль, содержащееся в открытом интервале ($a, b$). Пусть $\left\{ \left(c_{k}, d_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — покрытие $E$, как в предыдущей задаче. Определим

Покажите, что $f$ возрастает и не дифференцируема в каждой точке $E$.

Для действительных чисел $\alpha < \beta$ и $\gamma > 0$ покажите, что если $g:[\alpha +\gamma , \beta +\gamma ] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, то

Докажите эту формулу замены переменной, последовательно рассматривая простые функции, ограниченные измеримые функции, неотрицательные интегрируемые функции и общие интегрируемые функции. Используйте её для доказательства (7).

Вычислите верхнюю и нижнюю производные характеристической функции рациональных чисел.

Предположим, что $m^{*}(E) < \infty$, и пусть $\mathcal{F}$ — семейство замкнутых ограниченных невырожденных интервалов, покрывающих $E$ в смысле Витали. Покажите, что существует счётное дизъюнктное семейство $\left\{ I_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ интервалов из $\mathcal{F}$, для которого

Используйте лемму Витали о покрытии, чтобы показать, что объединение любого семейства (счётного или несчётного) замкнутых ограниченных невырожденных интервалов измеримо.

Определим $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Найдите верхнюю и нижнюю производные $f$ в точке $x = 0$.

Для интегрируемой функции $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ определим первообразную функции $g$ как функцию $f$, заданную на $[a, b]$ формулой

Покажите, что $f$ дифференцируема почти всюду на $(a, b)$.

Проверьте (7).

Покажите, что для $f:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ и $c \in (a, b)$, являющейся точкой локального минимума для $f$, выполнено $\underline{D} f(c) \leq 0 \leq \bar{D} f(c)$.

Для $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ предположим, что $\underline{D} f \geq 0$ на $(a, b)$. Покажите, что $f$ возрастает на $[a, b]$.

Для функций $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ покажите, что

Пусть $f$ определена на $[a, b]$, а $g$ — непрерывная функция на $[\alpha , \beta ]$, дифференцируемая в точке $\gamma \in (\alpha , \beta )$, с $g(\gamma ) = c \in (a, b)$. Проверьте следующее.

Покажите, что непрерывная функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ липшицева, если её верхняя и нижняя производные ограничены на $(a, b)$.

Покажите, что для функции $f$, определённой в последнем примере этого раздела, $f^{\prime }:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ не интегрируема.

Пусть $f$ — функция Дирихле, характеристическая функция рациональных чисел в $[0,1]$. Имеет ли $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ ограниченную вариацию?

Определим $f(x) = \sin x$ на $[0,2 \pi ]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f = h-g$ на $[0,2 \pi ]$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ступенчатая функция. Найдите формулу для её полной вариации.

Предположим, что $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Обязательно ли существует невырожденный замкнутый подынтервал $[a, b]$ отрезка $[0,1]$, для которого сужение $f$ на $[a, b]$ имеет ограниченную вариацию?

Пусть $P$ — разбиение $[a, b]$, являющееся измельчением разбиения $P^{\prime }$. Для $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ покажите, что $V\left(f, P^{\prime }\right) \leq V(f, P)$.

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию. Покажите, что существует последовательность разбиений $\left\{ P_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$, для которой последовательность $\left\{ V\left(f, P_{n}\right)\right\}$ возрастает и сходится к $T V(f)$.

Пусть последовательность $\left\{ f_{n}:[a, b] \rightarrow R\right\}$ сходится поточечно к $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеют ограниченную вариацию. Покажите, что

Для положительных чисел $\alpha$ и $\beta$ определим на $[0,1]$ функцию $f$ формулой

Покажите, что если $\alpha > \beta$, то $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию, показав, что $f^{\prime }$ интегрируема на $[0,1]$. Затем покажите, что если $\alpha \leq \beta$, то $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ не имеет ограниченной вариации.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ не имеет ограниченной вариации. Покажите, что существует точка $x_{0}$ в $[0,1]$, такая что найдутся содержащие $x_{0}$ подынтервалы $[0,1]$ сколь угодно малой длины, на которых $f$ не имеет ограниченной вариации.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и абсолютно непрерывна на $[\epsilon , 1]$ для каждого $0 < \epsilon < 1$.

Проверьте, что включения в (19) строгие.

Покажите, что липшицева функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ является разностью возрастающих липшицевых функций.

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает. Покажите, что $f$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$, такое что для любого счётного дизъюнктного семейства $\left\{ \left(a_{k}, b_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{\infty }$ открытых интервалов в ($a, b$),

Покажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает и абсолютно непрерывна, то она отображает множества меры нуль во множества меры нуль.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Выведите из непрерывности $f$ и компактности $[a, b]$, что $f$ отображает замкнутые множества в замкнутые и, следовательно, отображает множества типа $F_{\sigma }$ в множества типа $F_{\sigma }$.

Покажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает и абсолютно непрерывна, то $f$ отображает измеримые множества в измеримые множества.

Покажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и возрастает, то $f$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon$ найдётся $\delta > 0$, такое что для каждого измеримого подмножества $E$ отрезка $[a, b]$,

Покажите, что функция Кантора-Лебега $\varphi$ не абсолютно непрерывна на $[0,1]$, доказав, что функция $\psi$, определённая формулой $\psi (x) = x+\varphi (x)$ для $0 \leq x \leq 1$, отображает канторово множество, имеющее меру нуль, во множество меры 1.

Покажите, что и сумма, и произведение абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывны.

Определим функции $f$ и $g$ на $[-1,1]$ формулами $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ для $-1 \leq x \leq 1$ и

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ липшицева, а $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна. Покажите, что композиция $f \circ g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, а $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна и строго возрастает. Покажите, что композиция $f \circ g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна.

Докажите обращение импликации в теореме 11.

Теорема 11: Если функция $f: \left[a, b+1\right] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, то семейство функций разностных отношений $\mathcal{F} = \left\{ \operatorname {Diff}_{h} f: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}\right\}_{0 < h \leq 1}$ равномерно интегрируемо.

Функция Кантора-Лебега $\varphi$ непрерывна и возрастает на $[0,1]$. Выведите из теоремы 12, что $\varphi$ не абсолютно непрерывна на $[0,1]$.

Теорема 12: Если функция $f: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, то она дифференцируема почти всюду на $(a, b)$, её производная $f'$ интегрируема, и $\int_{a}^{b} f' \, dm = f(b) - f(a)$. Сравните это рассуждение с тем, что было предложено в задаче 42.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и дифференцируема почти всюду на ($a, b$). Покажите, что

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и дифференцируема почти всюду на ($a, b$). Покажите, что если $\left\{ \operatorname {Diff}_{1 / n} f\right\}$ равномерно интегрируемо на $[a, b]$, то

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и дифференцируема почти всюду на ($a, b$). Предположим, что существует неотрицательная интегрируемая функция $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которой

Покажите, что

Если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, покажите, что $f$ липшицева тогда и только тогда, когда существует $c \geq 0$, для которого $\left|f^{\prime }\right| \leq c$ почти всюду на $[a, b]$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию, и определим $v(x) = T V\left(f_{[a, x]}\right)$ для всех $x \in [a, b]$.

Постройте абсолютно непрерывную, строго возрастающую функцию $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, для которой $f^{\prime } = 0$ на множестве положительной меры.

Для $f$ и $g$, как в формулировке теоремы 17, возможно ли установить формулу замены переменной (30), непосредственно проверив, что

Теорема 17 (замена переменной): Пусть функция $f: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Если функция $g: \left[c, d\right] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает и абсолютно непрерывна, $a = g(c)$ и $b = g(d)$, то $\int_{a}^{b} f \, dm = \int_{c}^{d} \left[f \circ g\right] \cdot g' \, dm$ — утверждение (30), которое эта задача просит проверить непосредственно через приведённое выше уравнение.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ сохраняет множества меры нуль. Покажите, что композиция $g \circ f$ измерима для любой измеримой $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, если это выполнено для простых функций $g$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая абсолютно непрерывная функция. Докажите, что для каждого измеримого подмножества $E$ отрезка $[a, b]$,

Найдите возрастающую функцию $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, сохраняющую измеримые множества, для которой неравенство (35) не выполняется.

Докажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ не абсолютно непрерывна, то существует интегрируемая (а не просто измеримая) функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, для которой $g \circ f$ не измерима.

Покажите, что $\varphi :(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ выпукла тогда и только тогда, когда для точек $x_{1}, \ldots , x_{n}$ в ($a, b$) и неотрицательных чисел $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$, таких что $\sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} = 1$,

Используйте это для непосредственного доказательства неравенства Йенсена для $f$, являющейся простой функцией.

Покажите, что непрерывная функция $\varphi :(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ выпукла тогда и только тогда, когда

Функция $\varphi : I \rightarrow \mathbb {R}$ на общем интервале $I$ называется выпуклой, если она непрерывна и (38) выполняется для всех $x_{1}, x_{2} \in I$. Обязательно ли выпуклая функция на замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$ липшицева на $[a, b]$?

Пусть $\varphi :(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ имеет вторую производную в каждой точке $(a, b)$. Покажите, что $\varphi$ выпукла тогда и только тогда, когда $\varphi^{\prime \prime }$ неотрицательна.

Пусть $a \geq 0$ и $b > 0$. Покажите, что функция $\varphi (t) = (a+b t)^{p}$ выпукла на $[0, \infty )$ при $1 \leq p < \infty$.

Для каких функций $\varphi$ неравенство Йенсена всегда является равенством?

Сформулируйте и докажите вариант неравенства Йенсена на общем замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что

Пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных чисел с суммой 1, а $\left\{ \zeta_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел. Покажите, что

Пусть $g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ положительна и измерима. Покажите, что $\log \left(\int_{0}^{1} g(x) d x\right) \geq \int_{0}^{1} \log (g(x)) d x$, когда обе части определены.

Пусть $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Покажите, что если существуют $c_{1} \geq 0, c_{2} \geq 0$, для которых выполнено (43), то $\varphi \circ f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, если $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.