Выпуклые функции

Покажите, что $\varphi :(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ выпукла тогда и только тогда, когда для точек $x_{1}, \ldots , x_{n}$ в ($a, b$) и неотрицательных чисел $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$, таких что $\sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} = 1$,

Используйте это для непосредственного доказательства неравенства Йенсена для $f$, являющейся простой функцией.

Покажите, что непрерывная функция $\varphi :(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ выпукла тогда и только тогда, когда

Функция $\varphi : I \rightarrow \mathbb {R}$ на общем интервале $I$ называется выпуклой, если она непрерывна и (38) выполняется для всех $x_{1}, x_{2} \in I$. Обязательно ли выпуклая функция на замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$ липшицева на $[a, b]$?

Пусть $\varphi :(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ имеет вторую производную в каждой точке $(a, b)$. Покажите, что $\varphi$ выпукла тогда и только тогда, когда $\varphi^{\prime \prime }$ неотрицательна.

Пусть $a \geq 0$ и $b > 0$. Покажите, что функция $\varphi (t) = (a+b t)^{p}$ выпукла на $[0, \infty )$ при $1 \leq p < \infty$.

Для каких функций $\varphi$ неравенство Йенсена всегда является равенством?

Сформулируйте и докажите вариант неравенства Йенсена на общем замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что

Пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных чисел с суммой 1, а $\left\{ \zeta_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел. Покажите, что

Пусть $g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ положительна и измерима. Покажите, что $\log \left(\int_{0}^{1} g(x) d x\right) \geq \int_{0}^{1} \log (g(x)) d x$, когда обе части определены.

Пусть $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Покажите, что если существуют $c_{1} \geq 0, c_{2} \geq 0$, для которых выполнено (43), то $\varphi \circ f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, если $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.