Дифференцируемость монотонных функций: теорема Лебега

Покажите, что лемма Витали о покрытии не распространяется на случай, когда покрывающее семейство содержит вырожденные замкнутые интервалы.

Покажите, что лемма Витали о покрытии распространяется на случай, когда покрывающее семейство состоит из невырожденных общих интервалов.

Является ли всякая непрерывная функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ разностью монотонных функций?

Пусть $I$ и $J$ — замкнутые ограниченные интервалы, а $\gamma > 0$ таково, что $\ell (I) > \gamma \cdot \ell (J)$. Предположим, что $I \cap J \neq \emptyset$. Покажите, что если $\gamma \geq 1 / 2$, то $J \subseteq 3 * I$. Верно ли то же самое, если $0 < \gamma < 1 / 2$?

Покажите, что $m(E) = 0$ тогда и только тогда, когда существует счётное семейство открытых интервалов $\left\{ I_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$, такое что каждая точка $E$ принадлежит бесконечно многим $I_{k}$, и $\Sigma_{k = 1}^{\infty } \ell \left(I_{k}\right) < \infty$.

Пусть $E$ — множество меры нуль, содержащееся в открытом интервале ($a, b$). Пусть $\left\{ \left(c_{k}, d_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — покрытие $E$, как в предыдущей задаче. Определим

Покажите, что $f$ возрастает и не дифференцируема в каждой точке $E$.

Для действительных чисел $\alpha < \beta$ и $\gamma > 0$ покажите, что если $g:[\alpha +\gamma , \beta +\gamma ] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, то

Докажите эту формулу замены переменной, последовательно рассматривая простые функции, ограниченные измеримые функции, неотрицательные интегрируемые функции и общие интегрируемые функции. Используйте её для доказательства (7).

Вычислите верхнюю и нижнюю производные характеристической функции рациональных чисел.

Предположим, что $m^{*}(E) < \infty$, и пусть $\mathcal{F}$ — семейство замкнутых ограниченных невырожденных интервалов, покрывающих $E$ в смысле Витали. Покажите, что существует счётное дизъюнктное семейство $\left\{ I_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ интервалов из $\mathcal{F}$, для которого

Используйте лемму Витали о покрытии, чтобы показать, что объединение любого семейства (счётного или несчётного) замкнутых ограниченных невырожденных интервалов измеримо.

Определим $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Найдите верхнюю и нижнюю производные $f$ в точке $x = 0$.

Для интегрируемой функции $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ определим первообразную функции $g$ как функцию $f$, заданную на $[a, b]$ формулой

Покажите, что $f$ дифференцируема почти всюду на $(a, b)$.

Проверьте (7).

Покажите, что для $f:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ и $c \in (a, b)$, являющейся точкой локального минимума для $f$, выполнено $\underline{D} f(c) \leq 0 \leq \bar{D} f(c)$.

Для $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ предположим, что $\underline{D} f \geq 0$ на $(a, b)$. Покажите, что $f$ возрастает на $[a, b]$.

Для функций $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ покажите, что

Пусть $f$ определена на $[a, b]$, а $g$ — непрерывная функция на $[\alpha , \beta ]$, дифференцируемая в точке $\gamma \in (\alpha , \beta )$, с $g(\gamma ) = c \in (a, b)$. Проверьте следующее.

Покажите, что непрерывная функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ липшицева, если её верхняя и нижняя производные ограничены на $(a, b)$.

Покажите, что для функции $f$, определённой в последнем примере этого раздела, $f^{\prime }:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ не интегрируема.