Абсолютно непрерывные функции

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и абсолютно непрерывна на $[\epsilon , 1]$ для каждого $0 < \epsilon < 1$.

Проверьте, что включения в (19) строгие.

Покажите, что липшицева функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ является разностью возрастающих липшицевых функций.

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает. Покажите, что $f$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$, такое что для любого счётного дизъюнктного семейства $\left\{ \left(a_{k}, b_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{\infty }$ открытых интервалов в ($a, b$),

Покажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает и абсолютно непрерывна, то она отображает множества меры нуль во множества меры нуль.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Выведите из непрерывности $f$ и компактности $[a, b]$, что $f$ отображает замкнутые множества в замкнутые и, следовательно, отображает множества типа $F_{\sigma }$ в множества типа $F_{\sigma }$.

Покажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает и абсолютно непрерывна, то $f$ отображает измеримые множества в измеримые множества.

Покажите, что если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и возрастает, то $f$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon$ найдётся $\delta > 0$, такое что для каждого измеримого подмножества $E$ отрезка $[a, b]$,

Покажите, что функция Кантора-Лебега $\varphi$ не абсолютно непрерывна на $[0,1]$, доказав, что функция $\psi$, определённая формулой $\psi (x) = x+\varphi (x)$ для $0 \leq x \leq 1$, отображает канторово множество, имеющее меру нуль, во множество меры 1.

Покажите, что и сумма, и произведение абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывны.

Определим функции $f$ и $g$ на $[-1,1]$ формулами $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ для $-1 \leq x \leq 1$ и

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ липшицева, а $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна. Покажите, что композиция $f \circ g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, а $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна и строго возрастает. Покажите, что композиция $f \circ g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна.

Докажите обращение импликации в теореме 11.

Теорема 11: Если функция $f: \left[a, b+1\right] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, то семейство функций разностных отношений $\mathcal{F} = \left\{ \operatorname {Diff}_{h} f: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}\right\}_{0 < h \leq 1}$ равномерно интегрируемо.