Непрерывность монотонных функций

Покажите, что существует строго возрастающая функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, непрерывная только в иррациональных точках $[0,1]$.

Проверьте утверждение из доказательства теоремы о том, что достаточно рассматривать лишь случай, когда $I$ замкнут и ограничен.

Пусть $E$ — произвольное подмножество $\mathbb {R}$, а $C$ — счётное подмножество $E$. Существует ли монотонная функция на $E$, непрерывная только в точках множества $E \sim C$?