Функции ограниченной вариации: теорема Жордана

Пусть $f$ — функция Дирихле, характеристическая функция рациональных чисел в $[0,1]$. Имеет ли $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ ограниченную вариацию?

Определим $f(x) = \sin x$ на $[0,2 \pi ]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f = h-g$ на $[0,2 \pi ]$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ступенчатая функция. Найдите формулу для её полной вариации.

Предположим, что $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Обязательно ли существует невырожденный замкнутый подынтервал $[a, b]$ отрезка $[0,1]$, для которого сужение $f$ на $[a, b]$ имеет ограниченную вариацию?

Пусть $P$ — разбиение $[a, b]$, являющееся измельчением разбиения $P^{\prime }$. Для $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ покажите, что $V\left(f, P^{\prime }\right) \leq V(f, P)$.

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию. Покажите, что существует последовательность разбиений $\left\{ P_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$, для которой последовательность $\left\{ V\left(f, P_{n}\right)\right\}$ возрастает и сходится к $T V(f)$.

Пусть последовательность $\left\{ f_{n}:[a, b] \rightarrow R\right\}$ сходится поточечно к $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ имеют ограниченную вариацию. Покажите, что

Для положительных чисел $\alpha$ и $\beta$ определим на $[0,1]$ функцию $f$ формулой

Покажите, что если $\alpha > \beta$, то $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию, показав, что $f^{\prime }$ интегрируема на $[0,1]$. Затем покажите, что если $\alpha \leq \beta$, то $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ не имеет ограниченной вариации.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ не имеет ограниченной вариации. Покажите, что существует точка $x_{0}$ в $[0,1]$, такая что найдутся содержащие $x_{0}$ подынтервалы $[0,1]$ сколь угодно малой длины, на которых $f$ не имеет ограниченной вариации.