6.5

Интегрирование производных: дифференцирование неопределённых интегралов

[8/0%]
Показать
LaTeX
Задача 6.48

Функция Кантора-Лебега φ\varphi непрерывна и возрастает на [0,1][0,1]. Выведите из теоремы 12, что φ\varphi не абсолютно непрерывна на [0,1][0,1].

Теорема 12: Если функция f:[a,b]→Rf: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R} абсолютно непрерывна, то она дифференцируема почти всюду на (a,b)(a, b), её производная f′f' интегрируема, и ∫abf′ dm=f(b)−f(a)\int_{a}^{b} f' \, dm = f(b) - f(a). Сравните это рассуждение с тем, что было предложено в задаче 42.

?
Задача 6.49

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} непрерывна и дифференцируема почти всюду на (a,ba, b). Покажите, что

∫abf′dm=f(b)−f(a) тогда и только тогда, когда ∫ab[lim⁡n→∞Diff⁡1/nf]dm=lim⁡n→∞[∫abDiff⁡1/nf]dm \begin{gathered} \int _{a}^{b} f^{\prime } d m = f(b)-f(a) \\ \text{ тогда и только тогда, когда } \\ \int _{a}^{b}\left[\lim _{n \rightarrow \infty } \operatorname {Diff}_{1 / n} f\right] d m = \lim _{n \rightarrow \infty }\left[\int _{a}^{b} \operatorname {Diff}_{1 / n} f\right] d m \end{gathered}
?
Задача 6.50

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} непрерывна и дифференцируема почти всюду на (a,ba, b). Покажите, что если {Diff⁡1/nf}\left\{ \operatorname {Diff}_{1 / n} f\right\} равномерно интегрируемо на [a,b][a, b], то

∫abf′dm=f(b)−f(a) \int _{a}^{b} f^{\prime } d m = f(b)-f(a)
?
Задача 6.51

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} непрерывна и дифференцируема почти всюду на (a,ba, b). Предположим, что существует неотрицательная интегрируемая функция g:[a,b]→Rg:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}, для которой

∣Diff⁡1/nf∣≤g на [a,b] для всех n. \left|\operatorname {Diff}_{1 / n} f\right| \leq g \text{ на }[a, b] \text{ для всех } n .

Покажите, что

∫abf′dm=f(b)−f(a) \int _{a}^{b} f^{\prime } d m = f(b)-f(a)
?
Задача 6.52

Если f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} абсолютно непрерывна, покажите, что ff липшицева тогда и только тогда, когда существует c≥0c \geq 0, для которого ∣f′∣≤c\left|f^{\prime }\right| \leq c почти всюду на [a,b][a, b].

?
Задача 6.53

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} имеет ограниченную вариацию, и определим v(x)=TV(f[a,x])v(x) = T V\left(f_{[a, x]}\right) для всех x∈[a,b]x \in [a, b].

?
(i)

Покажите, что ∣f′∣≤v′\left|f^{\prime }\right| \leq v^{\prime } почти всюду на [a,b][a, b], и выведите отсюда, что

∫ab∣f′∣dm≤TV(f) \int _{a}^{b}\left|f^{\prime }\right| d m \leq T V(f)
(ii)

Покажите, что указанное выше является равенством тогда и только тогда, когда ff абсолютно непрерывна на [a,b][a, b].

(iii)

Сравните пункты (i) и (ii) со следствиями 4 и 12 соответственно.

Задача 6.54

Постройте абсолютно непрерывную, строго возрастающую функцию f:[0,1]→Rf:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}, для которой f′=0f^{\prime } = 0 на множестве положительной меры.

?
Задача 6.55

Для ff и gg, как в формулировке теоремы 17, возможно ли установить формулу замены переменной (30), непосредственно проверив, что

ddx[∫ag(x)fdm−∫cx[f∘g]⋅g′dm]=0 для почти всех x∈(c,d)? \frac{d}{d x}\left[\int _{a}^{g(x)} f d m-\int _{c}^{x}[f \circ g] \cdot g^{\prime } d m\right] = 0 \text{ для почти всех } x \in (c, d) ?

Теорема 17 (замена переменной): Пусть функция f:[a,b]→Rf: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема. Если функция g:[c,d]→Rg: \left[c, d\right] \rightarrow \mathbb {R} возрастает и абсолютно непрерывна, a=g(c)a = g(c) и b=g(d)b = g(d), то ∫abf dm=∫cd[f∘g]⋅g′ dm\int_{a}^{b} f \, dm = \int_{c}^{d} \left[f \circ g\right] \cdot g' \, dm — утверждение (30), которое эта задача просит проверить непосредственно через приведённое выше уравнение.

?