Мера Лебега

Докажите, что если $A$ и $B$ — два множества из $\mathcal{A}$ с $A \subseteq B$, то $\mu (A) \leq \mu (B)$. Это свойство называется монотонностью.

Докажите, что если существует множество $A$ в совокупности $\mathcal{A}$, для которого $\mu (A) < \infty$, то $\mu (\emptyset ) = 0$.

Пусть $\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётная совокупность множеств из $\mathcal{A}$. Докажите, что $\mu \left(\bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k}\right) \leq \sum_{k = 1}^{\infty } \mu \left(E_{k}\right)$.

Функция множества $c$ определена на всех подмножествах $\mathbb {R}$ следующим образом: положим $c(E)$ равной $\infty$, если $E$ содержит бесконечно много элементов, и $c(E)$ равной числу элементов множества $E$, если $E$ конечно, а также положим $c(\emptyset ) = 0$. Покажите, что $c$ — счётно аддитивная и трансляционно инвариантная функция множества. Эта функция множества называется считающей мерой.

Используя свойства внешней меры, докажите, что интервал $[0,1]$ несчётен.

Пусть $A$ — множество иррациональных чисел в интервале $[0,1]$. Докажите, что $m^{*}(A) = 1$.

Говорят, что множество вещественных чисел является множеством типа $G_{\delta }$, если оно представляет собой пересечение счётной совокупности открытых множеств. Покажите, что для любого ограниченного множества $E$ существует множество $G$ типа $G_{\delta }$, для которого

Жорданова мера (содержание) множества определяется так же, как и внешняя мера $m^{*}$, за исключением того, что рассматриваются только конечные покрытия множества открытыми ограниченными интервалами. Докажите, что если множество $Q \cap [0,1]$ покрыто конечной совокупностью $\left\{ \ell \left(I_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{n}$, то $\sum_{k = 1}^{n} \ell \left(I_{k}\right) \geq 1$.

Предположим, что внешняя мера определяется путём покрытия множеств счётными совокупностями замкнутых ограниченных интервалов, а не покрытиями открытыми ограниченными интервалами. Покажите, что внешняя мера при этом не изменяется.

Докажите, что если $m^{*}(A) = 0$, то для любого множества $B$ $m^{*}(A \cup B) = m^{*}(B)$.

Пусть $A$ и $B$ — ограниченные множества, для которых существует такое $\alpha > 0$, что $\left|a-b\right| \geq \alpha$ для всех $a \in A, b \in B$. Докажите, что $m^{*}(A \cup B) = m^{*}(A)+m^{*}(B)$.

Докажите, что если $\sigma$-алгебра подмножеств $\mathbb {R}$ содержит интервалы вида ($a, \infty$), то она содержит все интервалы.

Покажите, что

Покажите, что если множество $E$ имеет положительную внешнюю меру, то существует ограниченное подмножество множества $E$, также имеющее положительную внешнюю меру.

Покажите, что если $m(E) < \infty$ и $\epsilon > 0$, то $E$ является дизъюнктным объединением конечного числа измеримых множеств, каждое из которых имеет меру не более $\epsilon$.

Покажите, что множество $E$ измеримо, если для каждого $\epsilon > 0$ существуют замкнутое множество $F$ и открытое множество $\mathcal{O}$, для которых $F \subseteq E \subseteq \mathcal{O}$ и $m(\mathcal{O} \sim F) < \epsilon$.

Предположим, что $m^{*}(E) < \infty$. Покажите, что существует множество $G$ типа $G_{\delta }$, содержащее $E$, для которого $m(G) = m^{*}(E)$. Покажите, что $E$ измеримо тогда и только тогда, когда существует множество типа $G_{\delta }$, содержащее $G$, для которого $m^{*}(G \sim E) = 0$.

Предположим, что $m^{*}(E) < \infty$. Покажите, что если $E$ неизмеримо, то существует открытое множество $\mathcal{O}$, содержащее $E$, имеющее конечную внешнюю меру, и для которого

Пусть $E$ имеет конечную внешнюю меру. Покажите, что $E$ измеримо тогда и только тогда, когда для каждого открытого ограниченного интервала $(a, b)$

Для произвольного множества $A$ определим $m^{* *}(A) \in [0, \infty ]$ по формуле

Как эта функция множества $m^{* *}$ связана с внешней мерой $m^{*}$?

Для произвольного множества $A$ определим $m^{* * *}(A) \in [0, \infty ]$ по формуле

Как эта функция множества $m^{* * *}$ связана с внешней мерой $m^{*}$?

Покажите, что если $E_{1}$ и $E_{2}$ — измеримые множества конечной меры, то

Покажите, что предположение $m\left(B_{1}\right) < \infty$ необходимо в пункте (ii) теоремы о непрерывности меры.

Пусть $\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётная дизъюнктная совокупность измеримых множеств. Докажите, что для любого множества $A$

Пусть $\mathcal{M}^{\prime }$ — произвольная $\sigma$-алгебра подмножеств $\mathbb {R}$, а $m^{\prime }$ — функция множества на $\mathcal{M}^{\prime }$, принимающая значения в $[0, \infty )$, счётно аддитивная и такая, что $m^{\prime }(\emptyset ) = 0$.

Покажите, что непрерывность меры вместе с конечной аддитивностью меры равносильны счётной аддитивности меры.

Пусть $\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — совокупность измеримых подмножеств $[a, b]$, и предположим, что существует такое $\delta > 0$, что $m\left(E_{k}\right) \geq \delta$ для каждого $k$. Покажите, что существует такое $x \in [a, b]$, которое принадлежит бесконечно многим из этих множеств $E_{k}$.

Покажите, что любое множество представителей для отношения рациональной эквивалентности на множестве положительной внешней меры должно быть несчётно бесконечным.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и строго возрастает. Покажите, что $f^{-1}:[f(a), f(b)] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Покажите, что $f$ переводит замкнутые множества в замкнутые множества и переводит $F_{\sigma }$-множества в $F_{\sigma }$-множества. Переводит ли $f$ измеримые множества в измеримые множества?

Пусть функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ липшицева, то есть существует константа $c \geq 0$ такая, что для всех $u, v \in [a, b],\left|f(u)-f(v)\right| \leq c\left|u-v\right|$. Покажите, что $f$ непрерывна и переводит множества меры нуль в множества меры нуль. Сделайте вывод, что $f$ переводит измеримое множество в измеримые множества.

Пусть $F$ — подмножество $[0,1]$, построенное тем же способом, что и канторово множество, за исключением того, что каждый из интервалов, удаляемых на $n$-м шаге удаления, имеет длину $\alpha 3^{-n}$ при $0 < \alpha < 1$. Покажите, что $F$ является замкнутым множеством, $[0,1] \sim F$ плотно в $[0,1]$, и $m(F) = 1-\alpha$. Такое множество $F$ называется обобщённым канторовым множеством.

Покажите, что существует открытое множество вещественных чисел, которое, вопреки интуиции, имеет границу положительной меры.

Подмножество $A$ множества $\mathbb {R}$ называется нигде не плотным в $\mathbb {R}$, если замыкание каждого открытого множества $\mathcal{O}$ имеет непустое открытое подмножество, не пересекающееся с $A$. Покажите, что канторово множество нигде не плотно в $[0,1]$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, а $B$ — борелевское множество. Покажите, что $f^{-1}(B)$ является борелевским множеством.