Множество Кантора и функция Кантора-Лебега

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и строго возрастает. Покажите, что $f^{-1}:[f(a), f(b)] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Покажите, что $f$ переводит замкнутые множества в замкнутые множества и переводит $F_{\sigma }$-множества в $F_{\sigma }$-множества. Переводит ли $f$ измеримые множества в измеримые множества?

Пусть функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ липшицева, то есть существует константа $c \geq 0$ такая, что для всех $u, v \in [a, b],\left|f(u)-f(v)\right| \leq c\left|u-v\right|$. Покажите, что $f$ непрерывна и переводит множества меры нуль в множества меры нуль. Сделайте вывод, что $f$ переводит измеримое множество в измеримые множества.

Пусть $F$ — подмножество $[0,1]$, построенное тем же способом, что и канторово множество, за исключением того, что каждый из интервалов, удаляемых на $n$-м шаге удаления, имеет длину $\alpha 3^{-n}$ при $0 < \alpha < 1$. Покажите, что $F$ является замкнутым множеством, $[0,1] \sim F$ плотно в $[0,1]$, и $m(F) = 1-\alpha$. Такое множество $F$ называется обобщённым канторовым множеством.

Покажите, что существует открытое множество вещественных чисел, которое, вопреки интуиции, имеет границу положительной меры.

Подмножество $A$ множества $\mathbb {R}$ называется нигде не плотным в $\mathbb {R}$, если замыкание каждого открытого множества $\mathcal{O}$ имеет непустое открытое подмножество, не пересекающееся с $A$. Покажите, что канторово множество нигде не плотно в $[0,1]$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, а $B$ — борелевское множество. Покажите, что $f^{-1}(B)$ является борелевским множеством.