2.5

Счётная аддитивность и непрерывность меры, лемма Бореля-Кантелли

[6/0%]
LaTeX
Задача 2.22

Покажите, что если E1E_{1} и E2E_{2} — измеримые множества конечной меры, то

m(E1∪E2)−m(E1∩E2)=m(E1∼E2)+m(E2∼E1) m\left(E_{1} \cup E_{2}\right)-m\left(E_{1} \cap E_{2}\right) = m\left(E_{1} \sim E_{2}\right)+m\left(E_{2} \sim E_{1}\right)
?
Задача 2.23

Покажите, что предположение m(B1)<∞m\left(B_{1}\right) < \infty необходимо в пункте (ii) теоремы о непрерывности меры.

?
Задача 2.24

Пусть {Ek}k=1∞\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty } — счётная дизъюнктная совокупность измеримых множеств. Докажите, что для любого множества AA

m∗(A∩⋃k=1∞Ek)=∑k=1∞m∗(A∩Ek) m^{*}\left(A \cap \bigcup _{k = 1}^{\infty } E_{k}\right) = \sum _{k = 1}^{\infty } m^{*}\left(A \cap E_{k}\right)
?
Задача 2.25

Пусть M′\mathcal{M}^{\prime } — произвольная σ\sigma-алгебра подмножеств R\mathbb {R}, а m′m^{\prime } — функция множества на M′\mathcal{M}^{\prime }, принимающая значения в [0,∞)[0, \infty ), счётно аддитивная и такая, что m′(∅)=0m^{\prime }(\emptyset ) = 0.

?
(i)

Покажите, что m′m^{\prime } конечно аддитивна, монотонна, счётно монотонна и обладает свойством исключения (excision).

(ii)

Покажите, что m′m^{\prime } обладает теми же свойствами непрерывности, что и мера Лебега.

Задача 2.26

Покажите, что непрерывность меры вместе с конечной аддитивностью меры равносильны счётной аддитивности меры.

?
Задача 2.27

Пусть {Ek}k=1∞\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty } — совокупность измеримых подмножеств [a,b][a, b], и предположим, что существует такое δ>0\delta > 0, что m(Ek)≥δm\left(E_{k}\right) \geq \delta для каждого kk. Покажите, что существует такое x∈[a,b]x \in [a, b], которое принадлежит бесконечно многим из этих множеств EkE_{k}.

?