Более тонкие свойства измеримых множеств

Покажите, что множество $E$ измеримо, если для каждого $\epsilon > 0$ существуют замкнутое множество $F$ и открытое множество $\mathcal{O}$, для которых $F \subseteq E \subseteq \mathcal{O}$ и $m(\mathcal{O} \sim F) < \epsilon$.

Предположим, что $m^{*}(E) < \infty$. Покажите, что существует множество $G$ типа $G_{\delta }$, содержащее $E$, для которого $m(G) = m^{*}(E)$. Покажите, что $E$ измеримо тогда и только тогда, когда существует множество типа $G_{\delta }$, содержащее $G$, для которого $m^{*}(G \sim E) = 0$.

Предположим, что $m^{*}(E) < \infty$. Покажите, что если $E$ неизмеримо, то существует открытое множество $\mathcal{O}$, содержащее $E$, имеющее конечную внешнюю меру, и для которого

Пусть $E$ имеет конечную внешнюю меру. Покажите, что $E$ измеримо тогда и только тогда, когда для каждого открытого ограниченного интервала $(a, b)$

Для произвольного множества $A$ определим $m^{* *}(A) \in [0, \infty ]$ по формуле

Как эта функция множества $m^{* *}$ связана с внешней мерой $m^{*}$?

Для произвольного множества $A$ определим $m^{* * *}(A) \in [0, \infty ]$ по формуле

Как эта функция множества $m^{* * *}$ связана с внешней мерой $m^{*}$?