Банк задач по математике

Задача 2.12

Докажите, что если $\sigma$ -алгебра подмножеств $\mathbb {R}$ содержит интервалы вида ( $a, \infty$ ), то она содержит все интервалы.

?

Задача 2.13

(i)(ii)(iii)

Покажите, что

?

(i)

сдвиг множества типа $F_{\sigma }$ также является множеством типа $F_{\sigma }$ ,

(ii)

сдвиг множества типа $G_{\delta }$ также является множеством типа $G_{\delta }$ ,

(iii)

сдвиг множества меры нуль также имеет меру нуль.

Задача 2.14

Покажите, что если множество $E$ имеет положительную внешнюю меру, то существует ограниченное подмножество множества $E$ , также имеющее положительную внешнюю меру.

?

Задача 2.15

Покажите, что если $m(E) < \infty$ и $\epsilon > 0$ , то $E$ является дизъюнктным объединением конечного числа измеримых множеств, каждое из которых имеет меру не более $\epsilon$ .

?

σ\sigmaσ-алгебра измеримых по Лебегу множеств

$\sigma$ -алгебра измеримых по Лебегу множеств