Введение

Докажите, что если $A$ и $B$ — два множества из $\mathcal{A}$ с $A \subseteq B$, то $\mu (A) \leq \mu (B)$. Это свойство называется монотонностью.

Докажите, что если существует множество $A$ в совокупности $\mathcal{A}$, для которого $\mu (A) < \infty$, то $\mu (\emptyset ) = 0$.

Пусть $\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётная совокупность множеств из $\mathcal{A}$. Докажите, что $\mu \left(\bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k}\right) \leq \sum_{k = 1}^{\infty } \mu \left(E_{k}\right)$.

Функция множества $c$ определена на всех подмножествах $\mathbb {R}$ следующим образом: положим $c(E)$ равной $\infty$, если $E$ содержит бесконечно много элементов, и $c(E)$ равной числу элементов множества $E$, если $E$ конечно, а также положим $c(\emptyset ) = 0$. Покажите, что $c$ — счётно аддитивная и трансляционно инвариантная функция множества. Эта функция множества называется считающей мерой.