Арифметические аспекты степенных рядов

Произведение любых $m$ последовательных целых чисел делится на $m!$.

Произведение $m$ последовательных целых чисел в арифметической прогрессии делится на $m!$, если разность прогрессии взаимно проста с $m!$.

Разностное произведение любых $m$ различных целых чисел всегда делится на разностное произведение первых $m$ целых положительных чисел. (Разностное произведение $\prod_{j<k}^{1,2, \ldots , m}\left(x_{k}-x_{j}\right)$ $m$ величин $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}$ состоит из $\frac{1}{2} m(m-1)$ множителей.)

Определить показатель высшей степени простого числа $p$, входящей в $n!$.

Сколькими нулями заканчивается число $1000!$, записанное по десятичной системе?

Пусть $a$ и $b$ — целые положительные числа. Тогда произведение $(2 a)!(2 b)!$ делится на $a!(a+b)!b!$.

Если $h$ и $n$ — целые положительные числа, то $\frac{(h n)!}{(h!)^{n} n!}$ — целое число.

Пусть $s$ — целое число, $t$ — целое положительное число, $(s, t)=1$. Показать, что знаменатели коэффициентов рационально-численного степенного ряда

содержат лишь простые множители, входящие в $t$.

Пусть $p$ — простой множитель числа $t$ и $p^{\alpha }, p^{\alpha_{0}}, p^{\alpha_{1}}, \ldots , p^{\alpha_{n}}, \ldots$ — высшие степени $p$, входящие соответственно в $t, t_{0}, t_{1}, \ldots , t_{n}, \ldots$, где $t_{n}$ — знаменатель $n$-го коэффициента разложения бинома $(1+z)^{\frac{s}{t}}$ в степенной ряд, $(s, t)=1$. Вычислить $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\alpha_{n}}{n}$.

Найти наименьшее целое число $T$, обладающее тем свойством, что все коэффициенты ряда для $(1+T z)^{\frac{s}{t}}$ являются целыми числами.

Доказать теорему Эйзенштейна для простейшего случая, когда ряд представляет рациональную функцию.

Если два рационально-численных степенных ряда $f(z)$ и $g(z)$ удовлетворяют условию Эйзенштейна, то этому же условию удовлетворяют также ряды

а кроме того

Если рационально-численные ряды

удовлетворяют условию Эйзенштейна, то ему удовлетворяет также ряд

Показать, что условие Эйзенштейна равносильно одновременному выполнению двух следующих условий:

Разложить по степеням $z$ функции

Удовлетворяют ли полученные степенные ряды условиям 1), 2) задачи 144? Являются ли алгебраическими функции, представляемые этими рядами?

Гипергеометрическим рядом называется ряд

Если $\alpha$ и $\beta$ рациональны, однако не одновременно целые, и $\gamma$ — целое положительное число, то можно найти такое целое положительное число $T$, чтобы все коэффициенты гипергеометрического ряда были целыми.

Пусть $\alpha \neq \gamma , \beta \neq \gamma$ и $\alpha , \beta , \gamma$ не все одновременно рациональны, однако все коэффициенты гипергеометрического ряда $F(\alpha , \beta , \gamma ; z)$ рациональны. Тогда $\alpha$ и $\beta$ являются корнями некоторого неприводимого квадратного уравнения с рациональными коэффициентами.

В указанном в задаче 147 случае $F(\alpha , \beta , \gamma ; z)$ не представляет алгебраической функции от $z$. Доказать это, основываясь на теореме Эйзенштейна.

Рациональная функция, все коэффициенты разложения которой по возрастающим степеням $z$ рациональны, представляет собой отношение двух полиномов с рациональными коэффициентами.

Пусть рационально-численный ряд $f(z)$ удовлетворяет уравнению вида

где $P_{0}(z), P_{1}(z), \ldots , P_{l}(z)$ — полиномы, $P_{0}(z) \not\equiv 0$. Показать, что $f(z)$ удовлетворяет также некоторому уравнению того же вида, в котором указанные полиномы имеют коэффициентами целые рациональные числа.

Пусть рационально-численный ряд

удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению, т. е. уравнению вида

где $R$ — целая рациональная функция от своих $r+2$ аргументов. Показать, что тогда $y$ удовлетворяет также уравнению

где $R^{*}$ — целая рациональная функция с целыми коэффициентами.

Пусть функции $f(z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\ldots$, $F_{0}(z), F_{1}(z), F_{2}(z), \ldots , F_{l}(z)$ $\left(F_{0}(z) \not\equiv 0\right)$ регулярны в некоторой окрестности точки $z=0$ и связаны между собой уравнением

Тогда при некотором $m$ степенной ряд

удовлетворяет уравнению вида

где $k \leqslant l$, $G_{0}(0)=G_{1}(0)=\ldots =G_{k-2}(0)=0$, $G_{k-1}(0) \neq 0$, $G_{0}(z) \not\equiv 0$ и $G_{\varkappa }(z)$ представляет собой рациональное выражение с целыми коэффициентами относительно $F_{0}(z), F_{1}(z), \ldots , F_{l}(z), z, c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{m-1}$, деленное, возможно, на некоторую степень $z$; $\varkappa =0,1,2, \ldots , k$.

Если для рационально-численных степенных рядов $P_{0}(z), P_{1}(z), \ldots , P_{l}(z)$ выполняется условие Эйзенштейна, а рационально-численный степенной ряд $f(z)$ тождественно удовлетворяет уравнению

то для ряда $f(z)$ также выполнено условие Эйзенштейна.

Пусть $s_{n}, t_{n}$ — целые, $\left(s_{n}, t_{n}\right)=1$, $t_{n} \geqslant 1$ и $P_{n}$ — наибольший простой множитель, входящий в $t_{n}$. Говорят, что степенной ряд

удовлетворяет условию Чебышева, если отношение $\frac{P_{n}}{n}$ ограничено, и условию Гурвица, если отношение $\frac{\ln P_{n}}{\ln n}$ ограничено $(n=2,3,4, \ldots )$. Как для условия Чебышева, так и для условия Гурвица имеют место теоремы, аналогичные теоремам 142, 143, 153 для условия Эйзенштейна.

Пусть $P(z),Q(z),Q_2(z),Q_3(z),\ldots$ — степенные ряды с рациональными коэффициентами и пусть $y=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots$. Если имеет место одно из следующих шести равенств

то $c_n$ есть однозначно определенное рациональное число, представляющее собой рациональную и целую функцию коэффициентов при $1,z,z^2,\ldots ,z^n$ в разложениях $P(z),Q(z),Q_2(z),\ldots$, и потому в его знаменатель могут входить лишь такие простые числа, которые входят и в знаменатели упомянутых выше коэффициентов. [Ср. l. c. 144.]

Пусть $P(z),Q(z),Q_2(z),Q_3(z),\ldots$ — степенные ряды с рациональными коэффициентами и пусть $y=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots$. Если имеет место одно из следующих шести равенств

то $c_n$ есть однозначно определенное рациональное число, представляющее собой рациональную и целую функцию коэффициентов при $1,z,z^2,\ldots ,z^n$ в разложениях $P(z),Q(z),Q_2(z),\ldots$, и потому в его знаменатель могут входить лишь такие простые числа, которые входят и в знаменатели упомянутых выше коэффициентов. [Ср. l. c. 144.]

Целочисленный степенной ряд

называется примитивным, если его коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ не имеют иных общих делителей кроме единицы. Доказать, что произведение двух примитивных степенных рядов снова представляет собой примитивный степенной ряд.

Если степенной ряд

с целыми коэффициентами представляет рациональную функцию, то эта последняя может быть представлена в форме $\frac{P(z)}{Q(z)}$, где $P(z)$ и $Q(z)$ — полиномы с целыми коэффициентами и $Q(0)=1$.

Пусть

— положительное число, не превосходящее единицы, записанное по десятичной системе ($0 \leqslant a_{\nu } \leqslant 9$, $\nu =1,2,3, \ldots$). Целочисленный степенной ряд

представляет рациональную функцию тогда и только тогда, когда $\theta$ — рациональное число.

Пусть бесконечная последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ составлена лишь из конечного числа различных чисел. Степенной ряд

будет представлять рациональную функцию тогда и только тогда, когда последовательность его коэффициентов, начиная с некоторого члена, будет периодической.

Пусть $l$ — целое неотрицательное число и $P(z)$ — целочисленный полином. Тогда в степенном разложении $P(z)(1-z)^{-l-1}$ коэффициенты являются целыми числами и образуют периодическую последовательность по любому простому модулю $p$; длина периода равна некоторой степени $p$.

Пусть $D$ — целое число, не делящееся на заданное нечетное простое число $p$. Тогда коэффициенты в разложении дроби $\frac{(D-1) z}{(1-D z)(1-z)}$ — периодические по модулю $p$ и длина периода является (собственным или несобственным) делителем числа $p-1$.

Пусть $D$ и $p$ — те же числа, что и в задаче 160. В степенном разложении выражения $\left(1-D z^{2}\right)^{-1}$ коэффициенты — периодические по модулю $p$. Длина периода во всех случаях является делителем $2(p-1)$; она является делителем $p-1$ или нет, смотря по тому, будет ли $\left(\frac{D}{p}\right)=+1$ или $-1$.

Последовательность чисел Фибоначчи (VII 53) — периодическая по любому модулю. Вычислить длину периода для всех простых чисел, меньших, чем 30.

Если рациональная функция представляется целочисленным степенным рядом, то коэффициенты этого ряда, начиная с некоторого, — периодические по любому модулю $m$.

Степенной ряд, представляющий алгебраическую функцию $\frac{1}{\sqrt{1-4 z}}$, имеет целые коэффициенты. Эти коэффициенты не являются периодическими ни по какому нечетному простому модулю.

Радиус сходимости необрывающегося целочисленного степенного ряда всегда $\leqslant 1$.

Необрывающийся целочисленный степенной ряд, сходящийся внутри единичного круга, не может представлять ограниченную в этом круге функцию.

Если целочисленный степенной ряд представляет алгебраическую иррациональную функцию, то его радиус сходимости меньше единицы.

Верхнюю границу 1 в теореме 167 нельзя заменить меньшей. Иными словами, каково бы ни было $\varepsilon >0$, всегда существует целочисленный степенной ряд, представляющий алгебраическую иррациональную функцию и имеющий радиус сходимости, больший, чем $1-\varepsilon$.

Пусть коэффициенты полинома

вещественны. Аналитическая функция, определяемая рядом

будет рациональной тогда и только тогда, когда первые $r$ коэффициентов $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{r-1}$ рациональны.

Если последовательность целых неотрицательных чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots , a_{n}, \ldots$ ограничена и содержит бесконечное множество членов, отличных от нуля, то ряд

не может представлять рациональную функцию.

Ряд

коэффициенты которого подчинены тем же условиям, что и в задаче 170, также не может представлять рациональную функцию.

Обозначим через $Q_{n}$ сумму цифр числа $n$. Например, $Q_{137}=1+3+7=11$. Показать, что степенной ряд

имеет единичную окружность своей естественной границей.

Пусть логарифмы всех целых положительных чисел $1,2,3, \ldots$ записаны один под другим в порядке возрастания так, чтобы при этом единицы одинаковых разрядов стояли в одном и том же столбце. Показать, что степенной ряд, имеющий в качестве коэффициентов цифры любого столбца, имеет единичную окружность своей естественной границей.

Иными словами, пусть в десятичном разложении чисел $\ln 1, \ln 2, \ln 3, \ldots , \ln n, \ldots$ $j$-я цифра справа от запятой будет соответственно $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots , d_{n}, \ldots$ Тогда аналитическая функция, определенная степенным рядом

имеет своей естественной границей окружность $\left|z\right|=1$.

Если функция $f(z)$ целочисленна $(H)$, то также

целочисленны $(H)$.

Если $f(z)$ и $g(z)$ целочисленны $(H)$, то также

целочисленны $(H)$, а при $g(0)= \pm 1$ еще и отношение

целочисленно $(H)$.

Если функция $f(z)$ целочисленна $(H)$ и $f(0)=0$, то также

целочисленно $(H)$ $(m=1,2,3, \ldots )$.

Если $f(z)$ и $g(z)$ целочисленны $(H)$ и $f(0)=0$, то функция $g[f(z)]$ также целочисленна $(H)$.

Функция $\varphi (z)$, однозначно определяемая дифференциальным уравнением

и начальными условиями $\varphi (0)=0, \varphi^{\prime }(0)>0$, разлагается в степенной ряд, целочисленный $(H)$.

$\left(e^{z}-1\right)^{3} \equiv 2\left(\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\frac{z^{7}}{7!}+\ldots \right)(\bmod 4)$.

При всяком простом $p$

При каждом составном $m$, превосходящем 4, получаем

Бернуллиевы числа $B_{n}$ определяются как коэффициенты в разложении

Имеем

Вообще

где $G_{n}$ — целое число, а $2,3, \alpha , \beta , \gamma , \ldots$ — простые числа, на единицу превосходящие какой-нибудь делитель числа $2 n$.

Коэффициенты $C_{n}$ ряда

где $\varphi (z)$ — функция задачи 178, рациональны, причем знаменатели их не делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат лишь простые множители, которые $\equiv 1(\bmod 4)$.

Дифференциальное уравнение

обладает вполне определенным интегралом вида

($\wp (z)$ есть частная эллиптическая, так называемая «лемнискатическая» функция; параллелограммом периодов служит квадрат). Коэффициенты $D_{n}$ рациональны, причем знаменатели их не делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат лишь простые множители, которые $\equiv 1(\bmod 4)$.

Если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}}{n!} z^{n}$, целочисленный $(H)$, удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, то последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ коэффициентов этого ряда — периодическая по любому модулю, начиная с некоторого места.

Степенной ряд

показывает, что теорема 185 не может быть непосредственно распространена на однородные линейные дифференциальные уравнения, коэффициентами которых служат полиномы.

Если степенной ряд целой трансцендентной функции $g(z)$ целочислен $(H)$, то максимум модуля функции $g(z)$ (IV, гл. 1) удовлетворяет неравенству

Пусть ряд

расположенный по убывающим степеням $z$, сходится вне некоторого круга, и числа $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{m}$ рациональны. Если этот ряд принимает целые значения для бесконечного множества целых значений $z$, то $b_{0}$ рационально и

Ряд

принимает целые значения для бесконечного множества целых значений $z$.

Доказать 114, основываясь на 188.

Если не всюду расходящийся ряд

принимает целые значения при всех достаточно больших целых значениях $z$, то $F(z)$ является целозначным полиномом.

Если два полинома принимают целые значения в одних и тех же точках комплексной числовой плоскости, то либо их сумма, либо разность является постоянной.

Если полином $g(x)$ принимает вещественные значения во всех точках $x$, в которых другой полином $f(x)$ принимает значения из некоторого двусторонне-неограниченного множества вещественных чисел, то полином $g(x)$ вообще всюду вещественный, раз только веществен полином $f(x)$. (Если $f(x)$ нечетной степени, то достаточно предположить лишь, что множество односторонне-неограниченно.) Именно, тогда имеет место тождественное соотношение

где $\varphi (y)$ — полином относительно $y$ с вещественными коэффициентами.