Степенные ряды с целыми коэффициентами, связанные с рациональными функциями

Целочисленный степенной ряд

называется примитивным, если его коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ не имеют иных общих делителей кроме единицы. Доказать, что произведение двух примитивных степенных рядов снова представляет собой примитивный степенной ряд.

Если степенной ряд

с целыми коэффициентами представляет рациональную функцию, то эта последняя может быть представлена в форме $\frac{P(z)}{Q(z)}$, где $P(z)$ и $Q(z)$ — полиномы с целыми коэффициентами и $Q(0)=1$.

Пусть

— положительное число, не превосходящее единицы, записанное по десятичной системе ($0 \leqslant a_{\nu } \leqslant 9$, $\nu =1,2,3, \ldots$). Целочисленный степенной ряд

представляет рациональную функцию тогда и только тогда, когда $\theta$ — рациональное число.

Пусть бесконечная последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ составлена лишь из конечного числа различных чисел. Степенной ряд

будет представлять рациональную функцию тогда и только тогда, когда последовательность его коэффициентов, начиная с некоторого члена, будет периодической.

Пусть $l$ — целое неотрицательное число и $P(z)$ — целочисленный полином. Тогда в степенном разложении $P(z)(1-z)^{-l-1}$ коэффициенты являются целыми числами и образуют периодическую последовательность по любому простому модулю $p$; длина периода равна некоторой степени $p$.

Пусть $D$ — целое число, не делящееся на заданное нечетное простое число $p$. Тогда коэффициенты в разложении дроби $\frac{(D-1) z}{(1-D z)(1-z)}$ — периодические по модулю $p$ и длина периода является (собственным или несобственным) делителем числа $p-1$.

Пусть $D$ и $p$ — те же числа, что и в задаче 160. В степенном разложении выражения $\left(1-D z^{2}\right)^{-1}$ коэффициенты — периодические по модулю $p$. Длина периода во всех случаях является делителем $2(p-1)$; она является делителем $p-1$ или нет, смотря по тому, будет ли $\left(\frac{D}{p}\right)=+1$ или $-1$.

Последовательность чисел Фибоначчи (VII 53) — периодическая по любому модулю. Вычислить длину периода для всех простых чисел, меньших, чем 30.

Если рациональная функция представляется целочисленным степенным рядом, то коэффициенты этого ряда, начиная с некоторого, — периодические по любому модулю $m$.

Степенной ряд, представляющий алгебраическую функцию $\frac{1}{\sqrt{1-4 z}}$, имеет целые коэффициенты. Эти коэффициенты не являются периодическими ни по какому нечетному простому модулю.