Банк задач по математике

Задача 8.138

Пусть $s$ — целое число, $t$ — целое положительное число, $(s, t)=1$ . Показать, что знаменатели коэффициентов рационально-численного степенного ряда

(1+z)^{\frac{s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{s}{t}\left(\frac{s}{t}-1\right) \ldots \left(\frac{s}{t}-n+1\right) \frac{z^{n}}{n!}

содержат лишь простые множители, входящие в $t$ .

?

Задача 8.139

Пусть $p$ — простой множитель числа $t$ и $p^{\alpha }, p^{\alpha_{0}}, p^{\alpha_{1}}, \ldots , p^{\alpha_{n}}, \ldots$ — высшие степени $p$ , входящие соответственно в $t, t_{0}, t_{1}, \ldots , t_{n}, \ldots$ , где $t_{n}$ — знаменатель $n$ -го коэффициента разложения бинома $(1+z)^{\frac{s}{t}}$ в степенной ряд, $(s, t)=1$ . Вычислить $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\alpha_{n}}{n}$ .

?

Задача 8.140

Найти наименьшее целое число $T$ , обладающее тем свойством, что все коэффициенты ряда для $(1+T z)^{\frac{s}{t}}$ являются целыми числами.

?

Задача 8.141

Доказать теорему Эйзенштейна для простейшего случая, когда ряд представляет рациональную функцию.

?

Задача 8.142

Если два рационально-численных степенных ряда $f(z)$ и $g(z)$ удовлетворяют условию Эйзенштейна, то этому же условию удовлетворяют также ряды

f(z)+g(z), \quad f(z)-g(z), \quad f(z) g(z),

а кроме того

\frac{f(z)}{g(z)}(\text{ если } g(0) \neq 0) \quad \text{ и } \quad f(g(z))(\text{ если } g(0)=0) .

?

Задача 8.143

Если рационально-численные ряды

a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots , \quad b_{0}+b_{1} z+b_{2} z^{2}+\ldots +b_{n} z^{n}+\ldots

удовлетворяют условию Эйзенштейна, то ему удовлетворяет также ряд

a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1} z+a_{2} b_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} b_{n} z^{n}+\ldots

?

Задача 8.144

(1)(2)

Показать, что условие Эйзенштейна равносильно одновременному выполнению двух следующих условий:

?

(1)

Знаменатели $t_{1}, t_{2}, t_{3}, \ldots , t_{n}, \ldots$ содержат лишь конечное число различных простых множителей.

(2)

Отношение $\frac{\ln t_{n}}{n}$ ограничено ( $n=1,2,3, \ldots$ ).

Задача 8.145

Разложить по степеням $z$ функции

\begin{aligned} & \frac{1}{1-z}+\frac{1}{2-z}+\frac{1}{4-z}+\ldots +\frac{1}{2^{n}-z}+\ldots \\ & \frac{z}{2-z}+\frac{z^{2}}{2^{4}-z^{2}}+\frac{z^{3}}{2^{9}-z^{3}}+\ldots +\frac{z^{n}}{2^{n^{2}}-z^{n}}+\ldots \end{aligned}

Удовлетворяют ли полученные степенные ряды условиям 1), 2) задачи 144? Являются ли алгебраическими функции, представляемые этими рядами?

?

Задача 8.146

Гипергеометрическим рядом называется ряд

F(\alpha , \beta , \gamma ; z)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{\alpha (\alpha +1) \ldots (\alpha +n-1) \cdot \beta (\beta +1) \ldots (\beta +n-1)}{1 \cdot 2 \ldots n \cdot \gamma (\gamma +1) \ldots (\gamma +n-1)} z^{n} .

Если $\alpha$ и $\beta$ рациональны, однако не одновременно целые, и $\gamma$ — целое положительное число, то можно найти такое целое положительное число $T$ , чтобы все коэффициенты гипергеометрического ряда были целыми.

?

Примечание.

?

Например,

\frac{2}{\pi } \int _{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-z x^{2}\right)}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right) \ldots \left(\frac{1}{2}+n-1\right)}{1 \cdot 2 \ldots n}\right)^{2} z^{n}

не является алгебраической функцией [I 90]: условие Эйзенштейна необходимо, однако не достаточно для того, чтобы функция была алгебраической.

Задача 8.147

Пусть $\alpha \neq \gamma , \beta \neq \gamma$ и $\alpha , \beta , \gamma$ не все одновременно рациональны, однако все коэффициенты гипергеометрического ряда $F(\alpha , \beta , \gamma ; z)$ рациональны. Тогда $\alpha$ и $\beta$ являются корнями некоторого неприводимого квадратного уравнения с рациональными коэффициентами.

?

Задача 8.148

В указанном в задаче 147 случае $F(\alpha , \beta , \gamma ; z)$ не представляет алгебраической функции от $z$ . Доказать это, основываясь на теореме Эйзенштейна.

?

О теореме Эйзенштейна