Степенные ряды с целыми коэффициентами в смысле Гурвица

Если функция $f(z)$ целочисленна $(H)$, то также

целочисленны $(H)$.

Если $f(z)$ и $g(z)$ целочисленны $(H)$, то также

целочисленны $(H)$, а при $g(0)= \pm 1$ еще и отношение

целочисленно $(H)$.

Если функция $f(z)$ целочисленна $(H)$ и $f(0)=0$, то также

целочисленно $(H)$ $(m=1,2,3, \ldots )$.

Если $f(z)$ и $g(z)$ целочисленны $(H)$ и $f(0)=0$, то функция $g[f(z)]$ также целочисленна $(H)$.

Функция $\varphi (z)$, однозначно определяемая дифференциальным уравнением

и начальными условиями $\varphi (0)=0, \varphi^{\prime }(0)>0$, разлагается в степенной ряд, целочисленный $(H)$.

$\left(e^{z}-1\right)^{3} \equiv 2\left(\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\frac{z^{7}}{7!}+\ldots \right)(\bmod 4)$.

При всяком простом $p$

При каждом составном $m$, превосходящем 4, получаем

Бернуллиевы числа $B_{n}$ определяются как коэффициенты в разложении

Имеем

Вообще

где $G_{n}$ — целое число, а $2,3, \alpha , \beta , \gamma , \ldots$ — простые числа, на единицу превосходящие какой-нибудь делитель числа $2 n$.

Коэффициенты $C_{n}$ ряда

где $\varphi (z)$ — функция задачи 178, рациональны, причем знаменатели их не делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат лишь простые множители, которые $\equiv 1(\bmod 4)$.

Дифференциальное уравнение

обладает вполне определенным интегралом вида

($\wp (z)$ есть частная эллиптическая, так называемая «лемнискатическая» функция; параллелограммом периодов служит квадрат). Коэффициенты $D_{n}$ рациональны, причем знаменатели их не делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат лишь простые множители, которые $\equiv 1(\bmod 4)$.

Если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}}{n!} z^{n}$, целочисленный $(H)$, удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, то последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ коэффициентов этого ряда — периодическая по любому модулю, начиная с некоторого места.

Степенной ряд

показывает, что теорема 185 не может быть непосредственно распространена на однородные линейные дифференциальные уравнения, коэффициентами которых служат полиномы.

Если степенной ряд целой трансцендентной функции $g(z)$ целочислен $(H)$, то максимум модуля функции $g(z)$ (IV, гл. 1) удовлетворяет неравенству