Значения в целых точках степенных рядов, сходящихся в окрестности $z=\infty$

Пусть ряд

расположенный по убывающим степеням $z$, сходится вне некоторого круга, и числа $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{m}$ рациональны. Если этот ряд принимает целые значения для бесконечного множества целых значений $z$, то $b_{0}$ рационально и

Ряд

принимает целые значения для бесконечного множества целых значений $z$.

Доказать 114, основываясь на 188.

Если не всюду расходящийся ряд

принимает целые значения при всех достаточно больших целых значениях $z$, то $F(z)$ является целозначным полиномом.

Если два полинома принимают целые значения в одних и тех же точках комплексной числовой плоскости, то либо их сумма, либо разность является постоянной.

Если полином $g(x)$ принимает вещественные значения во всех точках $x$, в которых другой полином $f(x)$ принимает значения из некоторого двусторонне-неограниченного множества вещественных чисел, то полином $g(x)$ вообще всюду вещественный, раз только веществен полином $f(x)$. (Если $f(x)$ нечетной степени, то достаточно предположить лишь, что множество односторонне-неограниченно.) Именно, тогда имеет место тождественное соотношение

где $\varphi (y)$ — полином относительно $y$ с вещественными коэффициентами.