Теоретико-функциональные аспекты степенных рядов с целыми коэффициентами

Радиус сходимости необрывающегося целочисленного степенного ряда всегда $\leqslant 1$.

Необрывающийся целочисленный степенной ряд, сходящийся внутри единичного круга, не может представлять ограниченную в этом круге функцию.

Если целочисленный степенной ряд представляет алгебраическую иррациональную функцию, то его радиус сходимости меньше единицы.

Верхнюю границу 1 в теореме 167 нельзя заменить меньшей. Иными словами, каково бы ни было $\varepsilon >0$, всегда существует целочисленный степенной ряд, представляющий алгебраическую иррациональную функцию и имеющий радиус сходимости, больший, чем $1-\varepsilon$.

Пусть коэффициенты полинома

вещественны. Аналитическая функция, определяемая рядом

будет рациональной тогда и только тогда, когда первые $r$ коэффициентов $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{r-1}$ рациональны.

Если последовательность целых неотрицательных чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots , a_{n}, \ldots$ ограничена и содержит бесконечное множество членов, отличных от нуля, то ряд

не может представлять рациональную функцию.

Ряд

коэффициенты которого подчинены тем же условиям, что и в задаче 170, также не может представлять рациональную функцию.

Обозначим через $Q_{n}$ сумму цифр числа $n$. Например, $Q_{137}=1+3+7=11$. Показать, что степенной ряд

имеет единичную окружность своей естественной границей.

Пусть логарифмы всех целых положительных чисел $1,2,3, \ldots$ записаны один под другим в порядке возрастания так, чтобы при этом единицы одинаковых разрядов стояли в одном и том же столбце. Показать, что степенной ряд, имеющий в качестве коэффициентов цифры любого столбца, имеет единичную окружность своей естественной границей.

Иными словами, пусть в десятичном разложении чисел $\ln 1, \ln 2, \ln 3, \ldots , \ln n, \ldots$ $j$-я цифра справа от запятой будет соответственно $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots , d_{n}, \ldots$ Тогда аналитическая функция, определенная степенным рядом

имеет своей естественной границей окружность $\left|z\right|=1$.