Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах

Произведение любых $m$ последовательных целых чисел делится на $m!$.

Произведение $m$ последовательных целых чисел в арифметической прогрессии делится на $m!$, если разность прогрессии взаимно проста с $m!$.

Разностное произведение любых $m$ различных целых чисел всегда делится на разностное произведение первых $m$ целых положительных чисел. (Разностное произведение $\prod_{j<k}^{1,2, \ldots , m}\left(x_{k}-x_{j}\right)$ $m$ величин $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}$ состоит из $\frac{1}{2} m(m-1)$ множителей.)

Определить показатель высшей степени простого числа $p$, входящей в $n!$.

Сколькими нулями заканчивается число $1000!$, записанное по десятичной системе?

Пусть $a$ и $b$ — целые положительные числа. Тогда произведение $(2 a)!(2 b)!$ делится на $a!(a+b)!b!$.

Если $h$ и $n$ — целые положительные числа, то $\frac{(h n)!}{(h!)^{n} n!}$ — целое число.